20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{3}{2}\overrightarrow a$ = $\frac{3}{2}\left( { - 2;6;2} \right) = \left( {\frac{3}{2}.\left( { - 2} \right);\frac{3}{2}.6;\frac{3}{2}.2} \right) = \left( { - 3;9;3} \right).$

Đáp án đúng là: A

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm $MN$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\y = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\z = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.$ ⇒ $I\left( {1; - 1;3} \right).$

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án, ta thấy: $\overrightarrow b = \left( { - 3;6; - 9} \right) = - 3\left( {1; - 2;3} \right) = - 3\overrightarrow u$.

Suy ra $\overrightarrow u = - 3\overrightarrow b$ nên hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow b$ cùng phương.

Đáp án đúng là: B

Gọi tọa độ điểm $G\left( {x;y;z} \right)$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + 1 + 2}}{3} = 2\\y = \frac{{2 + 2 + 5}}{3} = 3\\z = \frac{{ - 5 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} = - 1\end{array} \right.$ ⇒ $G\left( {2;3; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ = $\left( {1 + 4;2 + 5;3 + 6} \right) = \left( {5;7;9} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2\overrightarrow u = \left( {2;4;6} \right)$, $3\overrightarrow v = \left( {12; - 15;18} \right)$.

Suy ra $2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v = \left( { - 10;19; - 12} \right).$

Do đó chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;0} \right)$.

Do đó $AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 5$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0$ hay $\overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c + \overrightarrow 0$.

Có: $\overrightarrow a = \left( {3;0;1} \right)$, $2\overrightarrow c = \left( {2;2;0} \right)$, $\overrightarrow 0 = \left( {0;0;0} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c + \overrightarrow 0 = \left( {1; - 2;1} \right)$

Đáp án đúng là: B

Để ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {m;n - 1;1} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m = 1.k\\n - 1 = 1.k\\1 = 1.k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\m = 1\\n = 2\end{array} \right.$.

Vậy $m = 1,n = 2.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 1.0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;5} \right)$.

Do đó, $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\overrightarrow b$ = $- 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 5.2$ = 11.

Đáp án đúng là: C

Theo đề, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1\\\frac{{0 + b + 0}}{3} = - 2\\\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3\end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 6\\c = 9\end{array} \right.$.

Vậy $a + b + c = 6$.

Đáp án đúng là: C

Để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ thì $\overrightarrow {NP} .\overrightarrow {NM} = 0$

Ta có: $\overrightarrow {NP} = \left( {1;m - 4;1} \right),\overrightarrow {NM} = \left( {2; - 6; - 2} \right)$.

Do đó, $1.2 + \left( {m - 4} \right).\left( { - 6} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 0$ ⇒ $m = 4$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)$.

Do đó, $\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.5 + 5.4 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =$$\frac{9}{{2\sqrt {35} }}$.

Đáp án đúng là: C

a) Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm $BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\\y = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{1}{2}\\z = \frac{{3 + 3}}{2} = 3\end{array} \right.$ ⇒ $I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)$.

Vậy a đúng.

b) Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 3;0} \right)$ ⇒ $BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2}} = 3\sqrt 2$ suy ra b đúng.

c) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 5; - 2} \right)$.

Do đó, $\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$

$= \frac{{0.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}.$

Vậy ý c đúng.

d) Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$. Có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x; - 2 - y;3 - z} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}4 - x = 0\\ - 2 - y = - 2\\3 - z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\\z = 5\end{array} \right.$ ⇒ $D\left( {4;0;5} \right)$.

Gọi $G\left( {a;b;c} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\\b = \frac{{3 + 1 + 0}}{3} = \frac{4}{2}\\c = \frac{{5 + 3 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.$ ⇒ $G\left( {2;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)$.

Tọa độ hình chiếu của trọng tâm $G$ của tam giác $ABD$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\left( {0;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${d_1} = AB = \sqrt {{{\left( {1 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2} + {{\left( {1 - 9} \right)}^2}} = 2\sqrt {29}$;

${d_2} = BC = \sqrt {{{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {7 - 11} \right)}^2} + {{\left( {9 - 4} \right)}^2}}$$= \sqrt {57}$;

${d_3} = AC = \sqrt {{{\left( {1 - 9} \right)}^2} + {{\left( {1 - 11} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {173}$.

Vậy ${d_1} + {d_2} + {d_3} = 2\sqrt {29} + \sqrt {57} + \sqrt {173}$ ≈ 31.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right)$ $\Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26}$.

$\overrightarrow {BC} = \left( { - 6;8;2} \right)$ $\Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {2^2}} = 2\sqrt {26}$.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$, theo tính chất phân giác ta có:

$\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DA = \frac{1}{2}DC \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC}$.

Có: $\overrightarrow {DA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right)$; $\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}1 - x = - \frac{1}{2}\left( { - 4 - x} \right)\\2 - y = - \frac{1}{2}\left( {7 - y} \right)\\ - 1 - z = - \frac{1}{2}\left( {5 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $D\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)$ $\Rightarrow a + b + 2c = 5.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&{ - 3}\\3&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&2\\5&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 2}\\3&3\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 19;12} \right).$

Vậy vectơ $\overrightarrow w = \left( { - 1; - 19;12} \right)$ cùng vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

Đáp án đúng là: B

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $\left( {2;1;0{,}5} \right)$ nên ý a đúng.

b) Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $\left( { - 1; - 1{,}5;0{,}8} \right)$ nên ý b sai.

c)Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất

$\sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}$ (km).

Do đó, ý c sai.

d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1{,}5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0{,}8 - 0{,}5} \right)}^2}} = \sqrt {15{,}34} = 3{,}92$ (km).

Do đó, ý d đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3$;

$\overrightarrow {BC} = \left( {4;1;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {1^2}} = 3\sqrt 2$.

Theo giả thiết $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ và có diện tích bằng $6\sqrt 2$ nên

$\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow AD = \sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC$.

Do $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ nên $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = \frac{4}{3}\\b - 2 = \frac{1}{3}\\c - 1 = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{3}\\b = \frac{7}{3}\\c = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 6$.