20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn C

$\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x} + C$.

Chọn B

$F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = \sin x - \cos x + C$.

Chọn D

$\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C$.

Chọn C

$\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C$.

Chọn B

Ta có $f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x = 2\left( {1 - \cos 2x} \right) = 2 - 2\cos 2x$.

Lúc đó $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2 - 2\cos 2x} \right)dx} = 2x - \sin 2x + C$.

Chọn D

$\int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$.

Chọn A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + {3^x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$.

Chọn C

$F'\left( x \right) = {\left( { - {e^{ - x}} + \sin x + 2019} \right)^\prime } = {e^{ - x}} + \cos x$.

Chọn B

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = {e^x} + \tan x + C$.

Chọn C

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^x} - 3{e^{ - x}}} \right)dx} = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C$.

mà $F\left( 0 \right) = 4$$\Rightarrow 1 + 3 + C = 4 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}}$.

a) $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 6x + 2 - \frac{1}{x}$.

b) Có $F\left( 1 \right) = {3.1^2} + 2.1 - \ln 1 + C = 3 \Rightarrow C = - 2$.

Khi đó $F\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - \ln x - 2$. Khi đó $F\left( 2 \right) = {3.2^2} + 2.2 - \ln 2 - 2 = 14 - \ln 2$.

c) $f\left( 1 \right) = 6.1 + 2 - \frac{1}{1} = 7$.

d) $f\left( x \right) + \frac{1}{x} - 8 < 0$$\Leftrightarrow 6x + 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - 8 < 0$$\Leftrightarrow 6x - 6 < 0$$\Leftrightarrow x < 1$.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Có $F'\left( x \right) = {x^3} - 2\sin 2x$.

Do đó $F\left( x \right)$ không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.

b) Có $g\left( x \right) = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\cos 2x$.

Suy ra $g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0$$\Leftrightarrow 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Vậy phương trình $g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0$ có đúng một nghiệm.

c) Có $G\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - \sin 2x} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C$.

d) Có $G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}$$\Rightarrow \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{{\cos 2\pi }}{2} + C = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2} \Rightarrow C = 0$.

Khi đó $G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2}$.

Khi đó $G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{64}} - \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln \left( { - x} \right) + C$ vì $x \in \left( { - \infty ;0} \right)$.

Mà $F\left( { - 2} \right) = 0$ nên $\ln 2 + C = 0 \Rightarrow C = - \ln 2$. Do đó $F\left( x \right) = \ln \left( { - x} \right) - \ln 2$.

a) $F\left( { - 2e} \right) = \ln \left( {2e} \right) - \ln 2 = \ln 2 + 1 - \ln 2 = 1$.

b) $F\left( { - 3} \right) = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$.

c) $f\left( { - 4} \right) = \frac{1}{{ - 4}} = - \frac{1}{4}$.

d) $F'\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {4\cos t} dt = 4\sin t + C$.

Mà $v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 4\sin 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$.

Khi đó $v\left( t \right) = 4\sin t$ m/s.

b) $v\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{6} = 2$ m/s.

c) $v\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2$ m/s.

d) $a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\cos \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2$ m/s2.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

b) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

c) Vì $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$ nên $\frac{1}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow C = 0$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$.

d) Ta có $F\left( 0 \right) = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}}$; $F\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}}$; …; $F\left( {2024} \right) = \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}}$; $F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}$.

Khi đó $T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) =$$= \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + ... + \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}$

$= \frac{1}{{\ln 2}}\left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)$$= \frac{{{2^{2026}} - 1}}{{\ln 2}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx}$$= {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

Có $F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Khi đó $F\left( x \right) = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|$.

Vậy $F\left( 1 \right) = {1^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 + 1} \right| = 1 + \frac{1}{2}\ln 3$.

Suy ra $a = 1;b = 1;c = 2 \Rightarrow a + b + c = 4$.

Trả lời: 4.

Ta có $B\left( t \right) = \int {\left( {4{t^3} - 3{t^2} + 200} \right)dt} = {t^4} - {t^3} + 200t + C$.

Mà $B\left( 2 \right) = 1200$$\Rightarrow {2^4} - {2^3} + 200.2 + C = 1200 \Rightarrow C = 792$.

Khi đó $B\left( t \right) = {t^4} - {t^3} + 200t + 792$.

Sau 6 giờ lượng khách tham quan là $B\left( 6 \right) = {6^4} - {6^3} + 200.6 + 792 = 3072$ (khách).

Trả lời: 3072.

Ta có $\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {2 + 5\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)} \right)dx}$$= \int {\left( {2 + \frac{5}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$$= 2x - 5\cot x + C$.

Suy ra $a = 2;b = - 5;c = 1$. Vậy $a + 4b + c = 2 - 20 + 1 = - 17$.

Trả lời: −17.

Theo đề ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ta có $F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right).\frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}$$= \frac{{\left( {2ax + b} \right).\left( {2x - 3} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}$

$= \frac{{5a{x^2} + \left( { - 6a + 3b} \right)x + \left( { - 3b + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}$.

Vì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\ - 6a + 3b = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = - 8$.

Trả lời: −8.

$f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {e^x} + 2x$.

Khi đó $f\left( 1 \right) = e + 2 \approx 4{,}7$.

Trả lời: 4,7.