20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp có đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int {\frac{4}{5}{x^3}dx = \frac{1}{5}{x^4} + C.}$

Với C = 0 thì ta có $\frac{1}{5}{x^4}$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{4}{5}{x^3}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}$ với $x \ne 0.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\int {\cos xdx - \int {1dx = } } } {\rm{ }}3\sin x - x + C$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx$

$$= \int {{x^2}dx - \int {3xdx + \int {\frac{1}{x}dx} } }$$

$$= \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.$$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {2\sin x - 3\cos x + 1} \right)^\prime }$$= 2\cos x + 3\sin x$.

Vậy $F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)dx}$

$$= \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}}} \right)dx}$$

$$= \int {{e^{3x}}dx} - 3\int {{e^{ - 2x}}dx}$$

$= \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} }$$= \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C.$

Mà $f\left( 0 \right) = 1$ nên $\frac{{{0^2}}}{2} - \cos 0 + C = 1$ hay C = 2.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx}$ $= {e^x} + {x^2} + C.$

Mà $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}$ nên ${e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2}$.

Suy ra $C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Do đó $F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.$

Có: $F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = e + 1 + \frac{1}{2} + {e^2} + 4 + \frac{1}{2}$$= {e^2} + e + 6.$

Vậy $F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = {e^2} + e + 6.$

Đáp án đúng là: A

(I): $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx$$= \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.$

Vậy $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.$

Mệnh đề (I) là mệnh đề đúng.

(II): $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {5x + 3} \right)}^5}dx}$$= \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C$

Vậy $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.

Mệnh đề (II) là mệnh đề sai.

(III). Ta có: $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C} \right)^\prime }$

$$= {\left( {\frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{4}{x^{\frac{5}{4}}} + C} \right)^\prime }$$

$$= \frac{9}{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{16}}{9}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{{25}}{{16}}{x^{\frac{1}{4}}}$$

$= \frac{9}{4}\sqrt x + \frac{{16}}{9}\sqrt[3]{x} + \frac{{25}}{{16}}\sqrt[4]{x}$.

Vậy mệnh đề (III) là sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} }$$= {x^2} + {e^x} + C.$

Mà $F\left( 0 \right) = 2024$ nên ${0^2} + {e^0} + C = 2024$ hay C = 2023.

Vậy $F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx$

$$= \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx$$

$$= \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx$$

$$= \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx$$

$$= \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.$$

Mà $F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}$ nên $\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}$ hay C = 8.

Suy ra $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.$

Do đó, $F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\sin }^2}xdx = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} }$

$$= \int {\frac{1}{2}dx - \frac{1}{2}} \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.}$$

Đáp án đúng là: B

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \sin 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3\cos 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Ta có: $I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\int {\cos 3x.{e^x}dx}$ (1)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 3\sin 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Ta có: $\int {\cos 3x.{e^x}dx} = \cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$$I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\left( {\cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} } \right)$$

$$I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x} - 9I$$

$$10I = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x}$$

$$I = \frac{1}{{10}}\left( {\sin 3x - 3\cos 3x} \right){e^x} + C$$

Mà $F\left( 0 \right) + C = 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{{10}} + C = 1$ hay $C = \frac{{13}}{{10}}.$

**

Đáp án đúng là: B

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx}$ (1)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Do đó, $\int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x}$ (2).

Thay (2) vào (1), ta được: $F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)$

$F\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2{e^x} + 2} \right){e^x}$.

Do đó, $a = 1,b = - 2,c = 2$.

Vậy $P = abc = - 4.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $F'\left( x \right) = {\left( {\sin x{e^x}} \right)^\prime } = \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^x}$

Suy ra $f\left( x \right) = \sin x + \cos x.$

Khi đó $f'\left( x \right).{e^x} = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x - \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x - \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Ta có: $I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}dx} }$ (1)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x + \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x + \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Ta có: $\int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} - \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}} dx$ (2).

Thay (2) vào (1) ta được:

$$I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} - I$$

$$\Leftrightarrow 2I = 2\cos x{e^x} + C$$

$$\Leftrightarrow I = \cos x{e^x} + C.$$

Vậy $\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.$

**

Đáp án đúng là: D

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 3} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 3}}\\v = \frac{1}{x}\end{array} \right.$

Ta có: $\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}} dx = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}}$

Đặt $I = \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx = \frac{1}{3}\ln \left| x \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {x + 3} \right| = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right|}$.

Suy ra $F\left( x \right) = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C.$

Lại có $F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0$

$$\left( {\frac{1}{3}\ln 2 + C} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C} \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow 2C = \frac{7}{3}\ln 2 \Leftrightarrow C = \frac{7}{6}\ln 2.$$

Suy ra $F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + \frac{7}{3}\ln 2 = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.$

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết, ta có: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)$

$\Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]$.

Xét với mọi $x \in \left[ {1;2} \right]$, ta có:

$\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx$.

$$\Rightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}}$$

$$\Rightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + \frac{1}{x}}} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + C.$$

Mà $f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 1$.

Vậy $f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} - 1$.

Suy ra $f\left( 2 \right) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}.$