20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1. Phương trình mặt phẳng có đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $\overrightarrow {AA'} \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {AA'}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$ trong đó $a,b,c$ không đồng thời bằng 0.

Do đó, ta chọn D.

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, ta có:

Với điểm $A\left( { - 1; - 1; - 1} \right),$ ta được: $- 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) - 3 = - 6 \ne 0.$

Do đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ không đi qua điểm $A\left( { - 1; - 1; - 1} \right).$

Với điểm $B\left( {1;1;1} \right)$, ta được: $1 + 1 + 1 - 3 = 0$.

Do đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $B\left( {1;1;1} \right).$

Với điểm $C\left( {1;1; - 1} \right),$ ta được: $1 + 1 + \left( { - 1} \right) - 3 = - 2 \ne 0.$

Do đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ không đi qua điểm $C\left( {1;1; - 1} \right).$

Với điểm $D\left( { - 3;0;0} \right)$, ta được: $- 3 + 0 + 0 - 3 = - 6 \ne 0.$

Do đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ không đi qua điểm $D\left( { - 3;0;0} \right).$

Đáp án đúng là: A

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + y + z + 1 = 0$ là $\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right).$

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ do

$$\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 3 \ne 1.$$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {z - 3} \right) = 0$ hay $2x + 3y - z - 2 = 0.$

Đáp án đúng là: C

Ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ của mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng

$$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&{ - 2}\\0&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;1; - 2} \right).$$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&2\\4&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0\\3&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&4\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right).$

Suy ra $\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là:

$2\left( {x - 3} \right) + \left( { - 3} \right)\left( {y - 2} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $2x - 3y + 6z = 0.$

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên các trục $Ox,Oy,Oz$ nên $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)$.

Lúc này có phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1.$

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là

$$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2.2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{7}{3}.$$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ do $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $AB$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$1.\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0$ hay $x + y + 2z - 3 = 0.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; - 4;3} \right)$.

Do mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là

$$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&2\\{ - 4}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&3\\3&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&{ - 2}\\5&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;1; - 2} \right).$$

Suy ra phương trình mặt phẳng là $2x + y - 2z = 0.$

Đáp án đúng là: C

Do mặt phẳng song song với $\left( P \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right).$

Do đó, phương trình mặt phẳng thỏa mãn là

$2\left( {x - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0$ hay $2x - y + 3z + 7 = 0.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1.$

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2;3} \right)$ nên $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$.

Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ là $\frac{{\left| { - 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}.$

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;m;3} \right).$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ phép tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {n; - 8; - 6} \right).$

Để $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ thì $\overrightarrow {{n_P}} = k\overrightarrow {{n_Q}} {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = kn\\m = - 8k\\3 = - 6k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - \frac{1}{2}\\m = 4\\n = - 4.\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: C

a) Ta có: $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.5 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}.$

Vậy ý a đúng.

b) Ta có: $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.2 - 2.1 + 4.5 + 1 - m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6}.$

Với $m = 0$ thì $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {27 - 0} \right|}}{6} = \frac{9}{2}.$

Vậy ý b đúng.

c) Với $m = 3$ thì $\left( Q \right):4x - 2y + 4z - 2 = 0$.

Nhận thấy $\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 5}}{{ - 2}}$ do đó $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$.

Có $\left( Q \right):4x - 2y + 4z - 2 = 0$$\Leftrightarrow 2x - y + 2z - 1 = 0$

Suy ra $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 5 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{3} = 2.$

Vậy ý c sai.

d) Ta có: $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.2 - 2.1 + 4.5 + 1 - m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6}.$

Để $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 1$ thì $\frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6} = 1$.

$\left| {27 - m} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 21\\m = 33\end{array} \right.$.

Vậy có 2 giá trị $m$ để khoảng cách từ $M$ đến $\left( Q \right)$ bằng 1. Và tổng của hai giá trị là 54.

Vậy ý d sai.

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c - 27 = 0\\ - 3a + 5b + 2z - 27 = 0\\3a + b + c = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = - 27\\c = 45\end{array} \right.$.

Vậy $S = a + b + c = - 6 + \left( { - 27} \right) + 45 = 12$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$ nên

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&{ - 2}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&2\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 3}\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;6; - 8} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $x + 6y - 8z + 10 = 0.$

Phương trình mặt phẳng $B$ và vuông góc với $AC$ là: $2x + y + z - 2 = 0.$

Phương trình mặt phẳng $C$ và vuông góc với $AB$ là: $2x - 3y - 2z + 6 = 0.$

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ nên ta có tọa độ điểm $H$ là $\left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right) = - \frac{1}{{101}}\left( {22;31;26} \right).$

Suy ra $\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$, $H$ nên $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {AH}$.

Mặt phẳng $\left( P \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_P}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1;6; - 8} \right).$

Vậy ${\overrightarrow n _P} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow {AH} } \right] = \left( {404; - 202; - 101} \right) = 101\left( {4; - 2;1} \right).$

Do đó, ${\overrightarrow n _P} = \left( {4; - 2;1} \right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4x - 2y - z + 4 = 0.$

Đáp án đúng là: C

Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ với $a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{R},c \in \mathbb{R}.$

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)$ và $\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\MA = MB = \sqrt {35} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = 35\end{array} \right.$ nên ta có hệ phương trình sau:

$$\left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\4a - 8b - 12c = - 8\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}b = c\\c = a + 2\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}b = a + 2\\c = a + 2\\3{a^2} - 14a = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.$ (do $a \in \mathbb{Z}$).

Ta có $M\left( {0;2;2} \right)$ nên suy ra $OM = 2\sqrt 2 .$