20 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giới hạn của dãy số có đáp án

Ta có ${\rm{0}} \le \left| {\frac{{{\rm{sin5n}}}}{{{\rm{3n}}}}} \right| \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}$ mà $\lim \frac{1}{{\rm{n}}} = 0$

Nên theo nguyên lý kẹp có: ${\mathop{\rm li}\nolimits} {\rm{m}}\,\frac{{{\rm{sin5n}}}}{{{\rm{3n}}}}{\rm{ = 0}}$ do đó $\mathop {\lim }\limits_{} \left( {\frac{{{\rm{sin5n}}}}{{{\rm{3n}}}} - 2} \right) = - 2$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $\lim \frac{{{\rm{n + 2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 3n}} - 1}} = \lim \frac{{\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}} + \frac{{\rm{2}}}{{\rm{n}}}}}{{4 + \frac{{\rm{3}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}} - \frac{1}{{{{\rm{n}}^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0$

Đáp án cần chọn là: D

$${\rm{lim}}\frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{{\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}} - {\rm{10}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{10}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{10}}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có ${\rm{lim}}\frac{{\sqrt {{\rm{2n + 3}}} }}{{\sqrt {{\rm{2n}}} {\rm{ + 5}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{\sqrt {{\rm{2 + }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{n}}}} }}{{\sqrt {\rm{2}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{5}}}{{\sqrt {\rm{n}} }}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{2}} }}{\rm{ = 1}}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có ${\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}$

Khi ${\rm{n}} \to \infty \Rightarrow {2^{\rm{n}}} < {3^{\rm{n}}}$ do đó ${\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} \Rightarrow \frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)}}{{\rm{2}}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}}$

Ta có ${\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n + 2}}} {\rm{ = lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} \sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}}$

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{0}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}}} = \frac{{\rm{n}}}{{\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - 1} \right)}}{2}}}}\\{{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}}}\end{array}} \right. = \frac{2}{{{\rm{n}} - 1}} \to 0 \Rightarrow {\rm{lim}}\frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} + 2 + \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}} {\rm{ = }}\sqrt 2 > 0}\end{array}} \right.$

$$\Rightarrow \lim \sqrt {{{2.3}^{\rm{n}}} - {\rm{n}} + 2} = + \infty$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có$0 \le \left| {\frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| \le \left| {\frac{{\left( {{3^2} + {4^2}} \right).\left( {{{\sin }^2}{\rm{n}} + {{\cos }^2}{\rm{n}}} \right)}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| = \frac{5}{{{\rm{n}} + 1}} \to 0$

Theo nguyên lý kẹp ta suy ra$\lim \frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}} = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Định nghĩa 1$\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}$nếu $\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|$có thể nhỏ hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{an + 4}}}}{{{\rm{5n + 3}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{a + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{n}}}}}{{{\rm{5 + }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{5}}}$

$$\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{\rm{a}}}{{\rm{5}}} = 2 \Leftrightarrow {\rm{a}} = 10$$

Đáp án cần chọn là: A

$${\rm{lim}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{4}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n + 2}}}}{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{4 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}}}{{{\rm{a + }}\frac{{\rm{5}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{a}}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right) \Leftrightarrow {\rm{a}} = 2$$

Đáp án cần chọn là: D

$${\rm{L = lim(3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3) = {\rm{lim}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{3 + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{n}}} - \frac{3}{{{{\rm{n}}^2}}}} \right)$$

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{lim}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} = + \infty }\\{{\rm{lim}}\left( {{\rm{3 + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{n}}} - \frac{3}{{{{\rm{n}}^2}}}} \right) = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{lim(3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3) = + \infty$

Đáp án cần chọn là: D

$${\rm{L = lim}}\left( {{\rm{5n}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right){{\rm{n}}^3}} \right) = {\rm{lim}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( {\frac{5}{{{{\rm{n}}^2}}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right)} \right) = - \infty$$

$${\rm{lim}}\left( {\frac{5}{{{{\rm{n}}^2}}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right)} \right) = - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right) < 0$$

$\Leftrightarrow \left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right) > 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{a}} > \sqrt 2 }\\{{\rm{a}} < \sqrt 2 }\end{array}} \right. \to {\rm{a}} = - 9; - 2;...;2;...9$

Đáp án cần chọn là: B

$$\lim \left( {\sqrt {{\rm{n + }}5} - \sqrt {{\rm{n + 1}}} } \right) = \lim \frac{{{\rm{n}} + 5 - {\rm{n}} - 1}}{{\sqrt {{\rm{n + 5}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{n + 1}}} }} = \lim \frac{4}{{\sqrt {{\rm{n}} + 5} + \sqrt {{\rm{n}} + 1} }} = 0$$

Đáp án cần chọn là: A

$$\lim \left( {\sqrt {{{\rm{n}}^2} - 1} - \sqrt {3{{\rm{n}}^2} + 2} } \right) = \lim {\rm{n}}\left( {\sqrt {1 - \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{{\rm{n}}^2}}}} } \right) = \lim {\rm{n}}.\lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{{\rm{n}}^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{{\rm{n}}^2}}}} } \right) = - \infty$$

Đáp án cần chọn là: C

Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn có ${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2, q}} = \frac{1}{7}$

Do đó ${\rm{S}} = \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}}}{{1 - {\rm{q}}}} = \frac{7}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

$$\lim \left( {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.5}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{1}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 3}}} \right)}}} \right)$$

$$= \lim \frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{\rm{n}}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right)$$

$$= \lim \frac{1}{3}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right)} \right]$$

$$= \lim \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 1}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 2}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right)$$

$$= \lim \frac{1}{3}\left( {\frac{{11}}{6} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 1}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 2}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right) = \frac{{11}}{{18}}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có ${{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{\rm{6}}}$

Do đó ${\rm{lim}}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{{\rm{6n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}$

Đáp án cần chọn là: D

$$\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = \lim \left( {\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + an + 5}}} - \sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} } \right)$$

$${\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{an + 4}}}}{{\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + an + 5}}} {\rm{ + }}\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} }}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{a + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{n}}}}}{{\sqrt {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{n}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{5}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}}$$

Để $\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}} = - 1 \Rightarrow {\rm{a}} = - 2$

Đáp án cần chọn là: C

Vì $- 1 \le \cos {\rm{x}} \le 1,\,\cos {\rm{x}} \ne \pm 1 \Rightarrow - 1 < \cos {\rm{x}} < 1$

Do đó $1,\,{\cos ^2}{\rm{x}},{\cos ^4}{\rm{x}},{\cos ^6}{\rm{x}},....,{\cos ^{2{\rm{n}}}}{\rm{x}},...$là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội ${\cos ^2}{\rm{x}}.$.

Do đó:

$${\rm{S}} = 1 + {\cos ^2}{\rm{x}} + {\cos ^4}{\rm{x}} + {\cos ^6}{\rm{x}} + .... + {\cos ^{2{\rm{n}}}}{\rm{x}} + ... = \frac{1}{{1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}{\rm{x}}}}$$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có $0{,}5111... = 0{,}5 + {10^{ - 2}} + {10^{ - 3}} + ... + {10^{ - {\rm{n}}}} + ...$

Dãy số ${10^{ - 2}};{10^{ - 3}};...;{10^{ - {\rm{n}}}};...$là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng ${{\rm{u}}_1} = {10^{ - 2}}$, công bội ${\rm{q}} = {10^{ - 1}}$ nên ${\rm{S = }}\frac{{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{q}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{90}}}}$

Vậy $0{,}5111... = 0{,}5 + {\rm{S}} = \frac{{46}}{{90}} = \frac{{23}}{{45}} \to \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{a = 23}}}\\{{\rm{b = 45}}}\end{array}} \right. \to {\rm{T = a + b}} = 68$

Đáp án cần chọn là: B

Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là ${{\rm{u}}_1} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} = 9.\frac{2}{3} = 6$

$$\Rightarrow {{\rm{u}}_2} = \frac{2}{3}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}} = \frac{2}{3}{{\rm{u}}_2};....$$

⇒Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với ${\rm{q}} = \frac{2}{3},{{\rm{u}}_1} = 6$

Vì mỗi quả bóng sau khi nảy lên lại tiếp tục rơi xuống nên tổng quãng đường bóng di chuyển là: ${\rm{S = 9 + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + }}...$

Đáp án cần chọn là: C