20 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số có đáp án

B

${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2}} - {\rm{3}}{\rm{.1 = }} - {\rm{1}}$.

B

$${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{9}}{\rm{.1 = 10}}{\rm{.1}} - {\rm{9}}{\rm{.1 = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {\rm{9}}{\rm{.2 = 10}}{\rm{.1}} - {\rm{9}}{\rm{.2 = }} - {\rm{8}}$$

A

Ta có:${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 2 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}}$

Xét hiệu: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n + 1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}$

$${\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n + 3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}$$

${\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{3n + 3}}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ > 0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$.

Vậy${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$. Vậy dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

B

Ta có:

${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{3n + 1}}} \right) - {\rm{2}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}}$.

${\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {\rm{1}} - \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}} < 1$.

Vậy (u$_{n}$) bị chặn trên bởi 1.

A

Liệt kê các số hạng của dãy số.

A

Ta có u$_{n + 1}$ - u$_{n}$ = (n + 1)$^{2}$ + 5 – (n$^{2}$ + 5) = 2n + 1 > 0, ∀n ≥ 1. Suy ra dãy số tăng.

C

Nhìn vào dãy số ta thấy u$_{1}$ = 2.1 = 2 là số hạng đầu và u$_{n}$ = 2n là số hạng tổng quát.

B

$${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 5 = 5}}{\rm{.1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = 10 = 5}}{\rm{.2; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = 15 = 5}}{\rm{.3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = 20 = 5}}{\rm{.4; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = 25 = 5}}{\rm{.5}}$$

Vậy ${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5n}}$.

C

Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là ${T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0{,}05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211{,}99$ triệu đồng.

D

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 1 tháng là 100 + 100.0,5% + 6 = 106,5 triệu đồng.

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là 106,5 + 106,5.0,5% + 6 = 113,0325 triệu đồng.

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

113,0325 + 113,0325.0,5% + 6 = 119,5976625 triệu đồng ≈ 120 triệu đồng.

a) Ta có ${u_3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

b) ${u_7} - {u_8} = - \frac{1}{{56}}$.

c) Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \ge 1$.

d) Theo câu c, suy ra u$_{n + 1}$ > u$_{n}$, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có ${u_1} = \frac{1}{{1.3}} = \frac{1}{3}$.

b) Ta có ${u_3} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{7}} \right) = \frac{3}{7}$.

c) Ta có ${u_n} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)$$= \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{n}{{2n + 1}}$.

Theo đề ta có $\frac{{15}}{{31}} = \frac{n}{{2n + 1}}$Û 15(2n + 1) = 31n Û n = 15.

Vậy $\frac{{15}}{{31}}$ là số hạng thứ 15 của dãy số.

d) Ta có u$_{2024}$ + u$_{2025}$ $< \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có ${S_1} = {1^2} - \frac{3}{2}.1 = - \frac{1}{2}$ và ${S_2} = {2^2} - \frac{3}{2}.2 = 1$.

b) Với n ³ 2 thì u$_{n}$ = S$_{n}$ – S$_{n – 1}$. Do đó u$_{2}$ = S$_{2}$ – S$_{1}$ = $\frac{3}{2}$.

c) Ta có ${u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {n^2} - \frac{3}{2}n - {\left( {n - 1} \right)^2} + \frac{3}{2}\left( {n - 1} \right)$ $= {n^2} - \frac{3}{2}n - {n^2} + 2n - 1 + \frac{3}{2}n - \frac{3}{2}$ $= - \frac{5}{2} + 2n,\forall n \ge 2$.

d) Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{5}{2} + 2\left( {n + 1} \right) + \frac{5}{2} - 2n = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó (u$_{n}$) là dãy tăng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) ${u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

b) Có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{4^n}}} = \frac{{n + 1}}{{4n}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{4n}} < 1,\forall n \ge 1$.

c) Theo câu b, suy ra u$_{n + 1}$ < u$_{n}$, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$. Do đó u$_{2024}$ < u$_{2023}$, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$.

d) Suy ra dãy số (u$_{n}$) là dãy số giảm.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Với mọi số nguyên dương n, ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = 1 - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0$.

Do đó u$_{n + 1}$ > u$_{n}$, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$.

b) Theo câu a, ta có dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

c) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương n và $\frac{1}{n}$ ta được:

$n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\frac{1}{n}} = 2$ hay u$_{n}$ ³ 2, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$.

d) Theo câu c, dãy số đã cho bị chặn dưới.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Có −n$^{2}$ + n + 1 = −19 $\Leftrightarrow$ −n$^{2}$ + n + 20 = 0 $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\end{array} \right.$.

Do n $\in$ ℕ$^{*}$ nên n = 5.

Do đó −19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Trả lời: 5.

Ta có ${u_6} = \frac{{2.6 + 1}}{{{6^2}}} = \frac{{13}}{{36}} \approx 0{,}4$.

Trả lời: 0,4.

Ta có u$_{1}$ = −1; u$_{2}$ = −1; u$_{3}$ = 0.

Do đó tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là −2.

Trả lời: −2.

Ta có u$_{2}$ = 2.7 + 3 = 17; u$_{3}$ = 2.17 + 3 = 37; u$_{4}$ = 2.37 + 3 = 77; u$_{5}$ = 2.77 + 3 = 157.

Trả lời: 157.

Từ công thức u$_{n+1}$ = 2u$_{n}$, ∀n ³ 1 suy ra $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2,\forall n \ge 1$. Từ đó ta có:

$\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2;\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = 2;\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = 2;...;\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 2$.

Nhân theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được: $\frac{{{u_n}}}{{{u_1}}} = {2^{n - 1}}$ $\Leftrightarrow {u_n} = {u_1}{.2^{n - 1}}$

$\Leftrightarrow$ u$_{n}$ = 2.2$^{n – 1}$ $\Leftrightarrow$ u$_{n}$ = 2$^{n}$. Suy ra a = 2.

Trả lời: 2.