20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

A

Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

B

Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.

D

Trong không gian hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai mặt phẳng không có điểm chung.

B

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của nó lên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó. Do đó hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Vậy phát biểu B là sai.

C

Kéo dài AD và BC. Gọi K là giao điểm của AD và BC.

Ta có S và K là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là SK.

C

Vì N, K lần lượt là trung điểm của BD. Suy ra NK // BD.

Xét hai mặt phẳng (MNK) và (ABD) có điểm chung M.

Lại có NK // BD nên (MNK) Ç (ABD) = MQ // BD (Q Î AD).

Mà M là trung điểm của AB suy ra Q là trung điểm của AD.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (ABD) đi qua trung điểm của AD.

A

Xét DSFE có$\frac{{SJ}}{{SF}} = \frac{{SI}}{{SE}} = \frac{2}{3}$ (do I, J là trọng tâm của DSAB, DSAD).

Suy ra IJ // EF (1).

Mà EF // BD Ì (SBD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra IJ // (SBD).

C

Do ABC'D' là hình bình hành nên AD' // BC'.

Do ADC'B' là hình bình hành nên AB' // DC'.

Xét hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) có AD' // BC' và AB' // DC' nên (AB'D') // (C'BD).

A

Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB, CD và MN là giao tuyến của chúng nên MN // CD.

A

Phép chiếu song song theo phương AA' biến B' thành chính nó, biến D thành D', biến M thành M'. Do đó biến DB'DM thành DB'D'M'.

a) Trong mặt phẳng (ABCD), P = AC Ç MD mà MD Ì (SMD). Suy ra P = AC Ç (SMD).

b) Trong mặt phẳng (SAC), K = AI Ç SP mà SP Ì (SMD). Suy ra K = AI Ç (SMD).

c) Vì MC // AD nên $\frac{{CP}}{{AP}} = \frac{{MC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{1}{3}$.

Vì SI = 2IC nên $\frac{{IC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{{CP}}{{CA}} = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IP//SA$ mà SA Ì (SAB) nên IP // (SAB).

d) Xét DSPD, theo định lý Menelaus có $\frac{{SK}}{{KP}}.\frac{{PM}}{{MD}}.\frac{{DH}}{{HS}} = 1$ (1).

Vì IP // SA nên $\frac{{SK}}{{KP}} = \frac{{SA}}{{IP}} = 3$ (2).

Tương tự $\frac{{PM}}{{MD}} = \frac{1}{3}$ (3). Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{{DH}}{{HS}} = 1$.

Xét DMHD, theo định lý Menelaus có $\frac{{MP}}{{PD}}.\frac{{DS}}{{SH}}.\frac{{HK}}{{KM}} = 1$.

Ta có $\frac{{MP}}{{PD}} = \frac{1}{2};\frac{{DS}}{{SH}} = 2$. Do đó $\frac{{HK}}{{KM}} = 1$ Þ $\frac{{MK}}{{MH}} = \frac{1}{2}$. Do đó a + b = 3.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Có S Î (SAB) Ç (SCD) mà AB // CD nên (SAB) Ç (SCD) = Sx // AB // CD.

b) DSBD có M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB, SD nên MN // BD mà BD Ì (SBD) nên MN // (SBD).

c) Gọi O là giao điểm AC và BD.

Trong mặt phẳng (SBD) có K = MN Ç SO mà SO Ì (SAC) nên K = MN Ç (SAC).

Có MN // BD nên $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{MK}}{{BO}} = \frac{{KN}}{{OD}} = \frac{1}{2}$ mà OB = OD nên MK = KM.

Suy ra K là trung điểm của MN.

d) Trong mặt phẳng (SAC) có AK Ç SC = I mà AK Ì (AMN) nên I = SC Ç (AMN).

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OJ // AI mà O là trung điểm của AC nên J là trung điểm của IC.

Lại có KI // OJ mà K là trung điểm của SO nên I là trung điểm SJ.

Do đó $\frac{{SI}}{{IC}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Gọi Q là trung điểm của SD.

G1; G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD nên $\frac{{Q{G_1}}}{{QA}} = \frac{{Q{G_2}}}{{QC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//AC$.

b) AB = (SAB) Ç (ABCD).

c) Có G1G2 // AC mà AC Ì (ABCD) nên G1G2 // (ABCD).

d) Qua G1 kẻ đường thẳng MF // AD (M Î SA, F Î SD).

Qua G2 kẻ EF // CD (E Î SC, F Î SD).

Qua E kẻ EN // BC (N Î SB).

Do đó MNEF là mặt phẳng chứa đường thẳng G1G2 và song song với mặt phẳng (ABCD).

Vì MN // EF (// AB // CD) và MF // NE (// AD // BC).

Do đó MNEF là hình bình hành.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Đường thẳng MN song song với CC' và cắt mặt phẳng (ABC) tại N nên N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.

b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACJ với J là trung điểm của BC.

c) Mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') có điểm chung là I mà MN // BB', MN Ì (MNI), BB' Ì (BCC'B') nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua I và song song BB'.

d) Gọi J, H lần lượt là trung điểm của BC và B'C'.

Gọi K = MI Ç NJ, suy ra K chính là giao điểm của MI và (ABC).

Có NJ = JK = MH suy ra NK = 2MH = AC.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Trong mặt phẳng (ABCD) có O = AC Ç BD.

Trong (SAC), gọi I = SO Ç AN.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in AN\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = AN \cap \left( {SBD} \right)$.

Vậy điểm I là điểm nằm trên đường thẳng SO.

c) Trong (ABCD), gọi P = CM Ç BD.

Trong (SCM), gọi J = MN Ç SP.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}J \in MN\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J = MN \cap \left( {SBD} \right)$.

Vậy J là điểm nằm trên đường thẳng SP.

d) Dễ thấy B Î (ABN) Ç (SBD) (1).

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in AN,AN \subset \left( {ABN} \right)\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (2).

Tương tự $\left\{ \begin{array}{l}J \in MN,MN \subset \left( {ABN} \right)\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra B, I, J cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SBD) nên ba điểm này thẳng hàng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Trong mặt phẳng (ABC) gọi D là giao điểm của PN và AC.

Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q là giao điểm của DM và SC.

Ta có Q = DM Ç SC mà DM Ì (MNP) Þ Q = SC Ç (MNP).

Gọi I là trung điểm của AC.

Xét DDIN có AP // IN nên $\frac{{DA}}{{DI}} = \frac{{AP}}{{IN}} = \frac{{\frac{1}{3}AB}}{{\frac{1}{2}AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét DDQC với MI // QC ta có $\frac{{MI}}{{QC}} = \frac{{DI}}{{DC}} = \frac{3}{4}$ Þ $MI = \frac{3}{4}QC$ $\Rightarrow \frac{1}{2}SC = \frac{3}{4}QC$

$\Leftrightarrow \frac{{QC}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3$.

Trả lời: 0,3.

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC Ç BD.

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I = AC Ç MN.

Trong mặt phẳng (SAC) gọi K = PI Ç SC mà PI Ì (PMN) Þ K = SC Ç (PMN).

Dễ dàng chứng minh được I là trung điểm của AO.

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OH // IK Þ $\frac{{CO}}{{CI}} = \frac{{CH}}{{CK}} = \frac{2}{3}$.

Xét DSOH, PK // OH mà P là trung điểm SO nên K là trung điểm của SH.

Suy ra $\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Trả lời: 0,25.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ SN song song OM với N thuộc AC.

Khi đó N Î (ABCD) nên N là hình chiếu song song của S lên (ABCD) theo phương OM.

Xét DSAN ta có OM // SN Þ $\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AO}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

$\Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Trả lời: 0,25.

Trong (ABCD), gọi E = MN Ç AC.

Trong (SAC) vẽ EQ // SC với Q Î SA.

Có $\left\{ \begin{array}{l}QE//PN\left( {//SE} \right)\\PN \subset \left( {MNP} \right)\\E \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right.$Þ Q Î (MNP).

Þ Q = SA Ç (MNP).

Ta có MN là đường trung bình của DBCD nên MN // BD hay ME // BO.

Suy ra E là trung điểm của OC.

Khi đó $\frac{{CE}}{{CO}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4}$.

Xét DSAC, ta có QE // SC nên $\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Trả lời: 0,25.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM \cap SO = I\\AM \subset \left( P \right)\\SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Mà SD // (P), SD Ì (SBD) suy ra (P) Ç (SBD) = d // BD với I Î d.

Gọi E = d Ç SB, F = d Ç SD. Khi đó E, F chính là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD.

Xét DSAC có O là trung điểm của AC, M là trung điểm của SC nên I là trọng tâm của tam giác SAC. Suy ra $\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}$.

Lại có EF // BD nên $\frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{SE}}{{SB}} + \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3$.

Trả lời: 1,3.