20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

B

$\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x{\rm{ }} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x{\rm{ }} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

B

$\cos x = \cos \frac{\pi }{{12}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

A

$\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

D

$\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C

Điều kiện:$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos 3x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$.

$\tan 3x + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( { - x} \right) \Leftrightarrow 3x = - x + k\pi \Leftrightarrow x{\rm{ }} = \frac{{k\pi }}{4},\,k \in \mathbb{Z}$.

So sánh điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là$x = k\pi ;\,x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$.

B

$2\cos x - \sqrt 2 = 0$ $\Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}$.

D

Ta có $3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

A

Ta có $cot\left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow cot\left( {3x - 1} \right) = cot\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$.

D

$\sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C

$ta{n^2}x = 3 \Leftrightarrow tanx = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

a) $2\sin x = \sqrt 2$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}$.

b) $\sin x = \sin \frac{\pi }{4}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

c) Với k = 0 thì $x = \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4}$. Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{\pi }{4}$.

d) Với $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

TH1: $- \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}$ mà k Î ℤ nên k = 0. Suy ra $x = \frac{\pi }{4}$.

TH2: $- \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow - \frac{5}{8} < k < - \frac{1}{8}$ mà k Î ℤ nên không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ số nghiệm của phương trình (*) là 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $\cos \left( {4x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - 1$$\Leftrightarrow 4x - \frac{{3\pi }}{8} = \pi + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

a) Do đó $x = \frac{{11\pi }}{{32}}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm M, N, P, Q trên đường tròn lượng giác.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k = 0 Þ $x = \frac{{11\pi }}{{32}}$.

Nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 $\Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{5\pi }}{{32}}$.

Suy ra tổng là $\frac{{11\pi }}{{32}} + \left( {\frac{{ - 5\pi }}{{32}}} \right) = \frac{{3\pi }}{{16}}$.

d) Có $x \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{19\pi }}{2}} \right)$ nên $\frac{\pi }{4} < \frac{{11\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{2} < \frac{{19\pi }}{2}$$\Leftrightarrow - \frac{3}{{16}} < k < \frac{{293}}{{16}}$ mà k Î ℤ nên k Î {0; 1; …; 18}.

Vậy có tất cả 19 nghiệm.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Phương trình tương đương với: $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

b) Nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 Þ $x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6}$.

c) Vì $\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3}$

Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{ - 1;0\}$.

Với $k = - 1$ thì $x = \frac{{ - \pi }}{6}$, với $k = 0$ thì $x = \frac{\pi }{3}$.

d) Tổng các nghiệm là $\frac{{ - \pi }}{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) b) Phương trình $\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - 2x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} - 2x + k2\pi \\5x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

c) +) Với $x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7} \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7} \le \pi$

$\Leftrightarrow - \frac{\pi }{{14}} \le k\frac{{2\pi }}{7} \le \frac{{13\pi }}{{14}} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{13}}{4}$. Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.

Suy ra các nghiệm: $x = \frac{\pi }{{14}},x = \frac{{5\pi }}{{14}},x = \frac{{9\pi }}{{14}},x = \frac{{13\pi }}{{14}}$.

+) Với $x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le \frac{{19\pi }}{{18}} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{19}}{{12}}$. Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1$

Suy ra các nghiệm: $x = \frac{{11\pi }}{{18}}$.

Vậy có tất cả 5 nghiệm.

d) Vậy tổng các nghiệm là: $\frac{{47\pi }}{{18}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1 \Leftrightarrow x = 30^\circ + k90^\circ (k \in \mathbb{Z})$.

b) Nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 Þ x = −60°.

c) $- 180^\circ < x < 90^\circ \Rightarrow - 180^\circ < 30^\circ + k90^\circ < 90^\circ (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow k = \{ - 2; - 1;0\}$.

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 150^\circ }\\{x = - 60^\circ }\\{x = 30^\circ }\end{array}} \right.$.

Suy ra tổng các nghiệm là $- 150^\circ - 60^\circ + 30^\circ = - 180^\circ$.

d) Trong khoảng $\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $30^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Ta có $- 3 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3$$\Leftrightarrow 11 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14 \le 17$.

Mực nước của kênh cao nhất là 17 khi $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k8$.

Vì t > 0 và nhỏ nhất nên k = 0. Do đó $t = \frac{2}{3}$. Suy ra a = 2; b = 3. Do đó ab = 6.

Trả lời: 6.

Ta có $- 1 \le \sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - 3 \le - 3\sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3$.

Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất là 3 khi $\sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$$\Leftrightarrow 1{,}5t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{\pi }{9} + k\frac{{4\pi }}{3}$.

Vì t Î [0; 12] nên $\Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{9} + k\frac{{4\pi }}{3} \le 12$$\Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{1}{{12}}$ mà k Î ℤ nên k Î {0; 1; 2}.

Vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất 3 lần.

Trả lời: 3.

Chiều cao của mực nước tại cảng bằng 6 m nên

$12 + 6\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 6$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = - 6 + 24k,k \in \mathbb{Z}$.

Mà 0 £ t £ 24 nên t = 18. Vậy lúc 18 giờ thì chiều cao của mực nước tại cảng là 6 m.

Trả lời: 18.

Ta có sin2x + 2 = m Û sin2x = m – 2 có nghiệm khi và chỉ khi

−1£ m – 2 £ 1 Û 1 £ m £ 3 Û m Î [1; 3]. Vậy a + b = 4.

Trả lời: 4.

Khi s = 4,3 thì $8{,}6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4{,}3$$\Rightarrow \sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\8t + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \end{array} \right.\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4}\\t = \frac{\pi }{{24}} + m\frac{\pi }{4}\end{array} \right.\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì t Î (0; 2) nên $\left\{ \begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4} < 2\\0 < \frac{\pi }{{24}} + m\frac{\pi }{4} < 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{6} < k < \frac{8}{\pi } + \frac{1}{6}\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{8}{\pi } - \frac{1}{6}\end{array} \right.$.

Vì k, m Î ℤ nên k Î {1; 2}; m Î {0; 1; 2}.

Vậy có 5 thời điểm thỏa mãn đề bài.

Trả lời: 5.