20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3. Hàm số liên tục (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

C

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

B

Hàm số đa thức luôn liên tục trên tập số thực ℝ.

B

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)$ nên hàm số f(x) không liên tục tại x0.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ tồn tại nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)$.

D

Tại $x = \frac{1}{2}$, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$.

A

Hàm số $y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}$ có tập xác định D = ℝ\{2}. Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2.

B

+) Với x > 2, ta có f(x) = −x2 + x + 3 là hàm đa thức

Þ hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2; +∞).

+) Với x < 2, ta có f(x) = 5x + 2 là hàm đa thức Þ hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 2).

+) Tại x = 2.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - {x^2} + x + 3} \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {5x + 2} \right) = 12$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$. Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = 2 hay hàm số không liên tục trên ℝ.

C

Ta có $f(1) = 2m + 1$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3$$

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$thì $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1$.

B

Hàm số liên tục tại $x = - 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = y\left( { - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {4x + a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y\left( { - 1} \right)$ $\Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$.

D

Ta có hai hàm số ${f_2}\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}$ và ${f_4}\left( x \right) = {\log _3}x$ có tập xác định không phải là tập $\mathbb{R}$ nên không thỏa yêu cầu.

Cả hai hàm số ${f_1}\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + 1$ và ${f_3}\left( x \right) = \cos x + 3$ đều có tập xác định là $\mathbb{R}$ đồng thời liên tục trên $\mathbb{R}$.

B

Tập xác định của hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Hàm số liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$.

a) Tập xác định ℝ\{±2}.

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −2); (−2; 2) và (2; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).

b) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = −2.

c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra a = 3; b = 4. Do đó a2 + b2 = 25.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( 1 \right){\rm{. }}$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

c) Ta có: $g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

d) Hàm số số $y = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Hàm số f(x) xác định trên ℝ.

b) $f\left( { - 3} \right) = a - \frac{{11}}{9}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} + 27}}$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} + 27}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 3x + 9}} = \frac{{ - 6}}{{27}} = - \frac{2}{9}$.

Hàm số gián đoạn tại x = −3 nên $a - \frac{{11}}{9} \ne - \frac{2}{9}$ Û a ≠ 1.

Mà a Î (0; 25) và a Î ℤ nên có 23 giá trị.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {x + 1} \right) = - 1$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 1$ (*)

Đề tồn tại (*) thì 4 – 2a + b = 0 Û b = 2a – 4.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + 2a - 4}}{{{x^2} - 4}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x + a - 2}}{{x - 2}} = \frac{{a - 4}}{{ - 4}} = - 1$ Û a = 8 Þ b = 12.

Do đó 3a – b = 12.

c) f(−2) = −2 + 1 = −1.

d) Với a = 2; b = 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{2} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)$.

Do đó hàm số không liên tục.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Với x < 1 hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$ liên tục.

b) Hàm số có tập xác định ℝ.

c) Với a = 3 thì f(1) = 2.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ nên hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}$ liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) = 3$; f(1) = 3m + 1.

Hàm số liên tục trên ℝ khi hàm số liên tục tại x = 1 Û $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ Û 3 = 3m + 1 Û $m = \frac{2}{3}$.

Suy ra P = 9m2 + 6m – 2 $= 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 6.\left( {\frac{2}{3}} \right) - 2 = 6$.

Trả lời: 6.

Với x Î (0; 1) thì T(x) = 15000 liên tục trên (0; 1).

Với x Î (1; 20) thì T(x) = a + (x – 1).14000 liên tục trên (1; 20).

Với x Î (20; +∞) thì T(x) = b + (x – 20).12000 liên tục trên (20; +∞).

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} T\left( x \right) = T\left( 1 \right) \Rightarrow a = 15000$.

Để hàm liên tục tại x = 20 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {20} \right) \Rightarrow b = 15000 + 14000.19 = 281000$.

Vậy $\frac{b}{a} = \frac{{281}}{{15}} \approx 18{,}7$.

Trả lời: 18,7.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - 1} - 1}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} = 1$.

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ Û m – 2024 = 1 Û m = 2025.

Trả lời: 2025.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 3x - 1} \right) = 9$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx - 1} \right) = 2m - 1 = f\left( 2 \right)$.

Để hàm số liên tục ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x = 2 thì 2m – 1 = 9 Û m = 5.

Trả lời: 5.

Khi $x < 0$ thì $f\left( x \right) = a\cos x + b\sin x$ liên tục với $x < 0$.

Khi $x > 0$ thì $f\left( x \right) = ax + b + 1$ liên tục với mọi $x > 0$.

Tại $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} \left( {ax + b + 1} \right)$$= b + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} \left( {a\cos x + b\sin x} \right)$$= a$.

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)$$= f\left( 0 \right)$$\Leftrightarrow a = b + 1$$\Leftrightarrow a - b = 1$.

Trả lời: 1.