20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1. Dãy số (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

C

${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 3}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{1 = 2}}$.

D

Với dãy số (un) ta có:

Xét đáp án A. Nếu (un) là dãy số tăng thì ta có ${{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ge {{\rm{u}}_{\rm{1}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$. Vậy dãy số bị chặn dưới.

Vậy A đúng.

Xét đáp án B. Xét dãy số (un) có ${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{n}}}$.

Ta có: ${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = }} - {\rm{1}}$

Do đó dãy số không tăng không giảm.

Vậy B đúng.

Xét đáp án C. Nếu (un) là dãy số giảm thì ta có ${{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {{\rm{u}}_{\rm{1}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$ Vậy dãy số bị chặn trên.

Vậy C đúng.

Xét đáp án D. Xét dãy số (un) có ${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}$ là dãy số tăng, bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0.

A

Nếu tồn tại số M > 0 sao cho

$$\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {\rm{M, }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * } \Leftrightarrow - {\rm{M}} \le {{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {\rm{M}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy (un) là dãy số bị chặn.

B

${{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{10 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{11}}}}$.

B

${u_1} = 1;{\rm{ }}{u_2} = 10{u_1} - 9.1 = 10.1 - 9.1 = 1;{u_3} = 10{u_2} - 9.2 = 10.1 - 9.2 = - 8$.

A

Ta có:${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 2 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}}$

Xét hiệu: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n + 1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}$

$${\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n + 3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}$$

$${\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{3n + 3}}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ > 0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

D

Với${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}$ta có:${\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} \le 1$

Vậy (un) bị chặn trên.

B

$${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 5 = 5}}{\rm{.1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = 10 = 5}}{\rm{.2; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = 15 = 5}}{\rm{.3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = 20 = 5}}{\rm{.4; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = 25 = 5}}{\rm{.5}}$$

Vậy ${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5n}}$.

A

$${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 3}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.1}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.4}}$$

…

$${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{2}}} \right)} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{2 = 3 + 2n}} - {\rm{2 = 2n + 1}}$$

Vậy${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 2n + 1}}$

C

Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là ${T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0{,}05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211{,}99$ triệu đồng.

Ta có ${u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}$.

a) u1 = 1.

b) ${u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5}$.

c) ${u_4} - {u_5} = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{7} = - \frac{1}{{14}} < 0$ Þ u4 < u5.

d) Xét $\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}}$Û 84(2n + 1) = 167(n + 2) Û n = 250.

Vậy $\frac{{167}}{{84}}$là số hạng thứ 250 của dãy số (un).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5.

b) Ta có u5 = u4 + 3 = 11.

c) Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\...................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.$

Cộng theo vế toàn bộ các đẳng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:

un = −1 + 3(n – 1) = 3n – 4.

Vậy công thức số hạng tổng quát là un = 3n – 4.

d) Ta có 101 = 3n – 4 Þ n = 35.

Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có ${u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}$.

b) Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0$ với mọi n ³ 1.

suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .

c) Dãy bị chặn dưới bởi ${u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} = - 11$.

Mặt khác ${u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1$.

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

d) Dãy số bị chặn trên bởi $\frac{2}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có ${u_3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

b) ${u_7} - {u_8} = - \frac{1}{{56}}$.

c) Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \ge 1$.

d) Theo câu c, suy ra un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có ${S_1} = {1^2} - \frac{3}{2}.1 = - \frac{1}{2}$ và ${S_2} = {2^2} - \frac{3}{2}.2 = 1$.

b) Với n ³ 2 thì un = Sn – Sn – 1. Do đó u2 = S2 – S1 = $\frac{3}{2}$.

c) Ta có ${u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {n^2} - \frac{3}{2}n - {\left( {n - 1} \right)^2} + \frac{3}{2}\left( {n - 1} \right)$ $= {n^2} - \frac{3}{2}n - {n^2} + 2n - 1 + \frac{3}{2}n - \frac{3}{2}$ $= - \frac{5}{2} + 2n,\forall n \ge 2$.

d) Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{5}{2} + 2\left( {n + 1} \right) + \frac{5}{2} - 2n = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó (un) là dãy tăng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Có −n2 + n + 1 = −19 Û −n2 + n + 20 = 0 Û $\left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\end{array} \right.$.

Do n Î ℕ* nên n = 5.

Do đó −19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Trả lời: 5.

Ta có ${u_6} = \frac{{2.6 + 1}}{{{6^2}}} = \frac{{13}}{{36}} \approx 0{,}4$.

Trả lời: 0,4.

Ta có ${u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1$. Mặt khác ${u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0$. Nên suy ra dãy (un) bị chặn trên bởi số 1.

Trả lời: 1.

${u_n} = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos n - \frac{1}{2}\sin n} \right) = 2\cos \left( {n + \frac{\pi }{6}} \right)$ $\Rightarrow - 2 \le {u_n} \le 2$.

Vậy m = −2; M = 2 nên m + M = 0.

Trả lời: 0.

Ta có u1 = 1; u2 = 2u1 + 1 = 3; u3 = 2u2 + 1 = 7; u4 = 2u3 + 1 = 15.

Trả lời: 15.