20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Dãy số có đáp án

$${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 3}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{1 = 2}}$$

Đáp án cần chọn là: C

**

Dựa vào định nghĩa dãy số tăng ta có:$\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }:{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}} > 0$

Đáp án cần chọn là: C

Nếu tồn tại số M > 0 sao cho

$$\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {\rm{M, }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\left| {{u_n}} \right| \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^ * } \Leftrightarrow - {\rm{M}} \le {{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {\rm{M}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy (u$_{n}$) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: A

$${{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{10 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{11}}}}$$

Đáp án cần chọn là: B

**

$${{\rm{S}}_{{\rm{10 }}}}{\rm{ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55}}$$

Đáp án cần chọn là: A

**

$${{\rm{S}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{; }}{{\rm{S}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{3}}{\rm{.4}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}$$

Đáp án cần chọn là: A

Với ${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n}}$ ta có:${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - \left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{n}} - {\rm{1}}$Xét hiệu:

$${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{n}} - {\rm{1}}} \right) - \left( {{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{n}} - {\rm{1}} - {{\rm{3}}^{\rm{n}}}{\rm{ + n = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}}$$

$${\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}}\left( {{\rm{3}} - {\rm{1}}} \right) - {\rm{1 = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}} > 0,\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}} > 0 \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$. Vậy dãy số $\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)$ là dãy số tăng.

Đáp án cần chọn là: C

• Với${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \right)^{\rm{n}}}$

$\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$ ta có:

$\frac{2}{3} < 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\rm{n}}} < {1^{\rm{n}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\rm{n}}} < 1$. Vậy$\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)$ bị chặn trên.

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\rm{n}}} > 0$. Vậy$\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)$ bị chặn dưới

Ta thấy dãy số $\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)$bị chặn.

• Với ${{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}} \right)^{\rm{n}}}$

$\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$ta có:

${\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\rm{n}}} > 0$. Vậy $\left( {{{\rm{v}}_{\rm{n}}}} \right)$bị chặn dưới và không bị chặn trên.

• Với${{\rm{q}}_{\rm{n}}}{\rm{ = sinn + cosn}}$

$${{\rm{q}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\sqrt {\rm{2}} \left( {\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{2}} }}{\rm{sinn + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{2}} }}{\rm{cosn}}} \right)\sqrt {\rm{2}} \left( {{\rm{sinncos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + cosnsin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = }}\sqrt {\rm{2}} {\rm{sin}}\left( {{\rm{n + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right)$$

$\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$ta có:

$- 1 \le \sin \left( {{\rm{n + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {{\rm{n + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right) \le \sqrt 2$. Vậy (q$_{n}$) bị chặn.

Vậy có 2 dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: C

Với${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}$ta có:${\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} \le 1$

Vậy (u$_{n}$) bị chặn trên.

Đáp án cần chọn là: D

Xét dãy số (u$_{n}$) có ${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{n}}}$.

Ta có: ${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = 1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = }} - {\rm{1}}$.

Do đó dãy số không tăng không giảm. Vậy B, C sai.

${{\rm{u}}_{{\rm{30 }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{{\rm{30}}}}{\rm{ = 1}}$. Vậy D sai.

$- 1 \le {\left( { - 1} \right)^{\rm{n}}} \le 1$. Vậy dãy (u$_{n}$) bị chặn. Vậy A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

$${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 3}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.1}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3}}} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.4}}$$

…

$${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 2 = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{2}}} \right)} \right){\rm{ + 2 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{2 = 3 + 2n}} - {\rm{2 = 2n + 1}}$$

Vậy${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 2n + 1}}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$${{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.1 = 1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.2 = }} - {\rm{1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.3 = }} - {\rm{3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.4 = }} - {\rm{5; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.5 = }} - {\rm{7}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{6 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.6 = }} - {\rm{9; }}{{\rm{u}}_{{\rm{7 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.7 = }} - {\rm{11; }}{{\rm{u}}_{{\rm{8 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.8 = }} - {\rm{13; }}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{9 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.9 = }} - {\rm{15; }}{{\rm{u}}_{{\rm{10 }}}}{\rm{ = 3}} - {\rm{2}}{\rm{.10 = }} - {\rm{17}}$$

$${\rm{S = }}{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}$$

$${\rm{ = 1 + }}\left( { - {\rm{1}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{3}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{5}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{7}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{9}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{11}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{13}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{15}}} \right){\rm{ + }}\left( { - {\rm{17}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{80}}$$

Đáp án cần chọn là: C

$${\rm{S}}\left( {\rm{n}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{3}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{3}} - {\rm{2}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{4}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{n}}}}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}$$

$${\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{1}}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{n + 1}}}}$$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}$

Xét hiệu:

$${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}} \right) - \left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} \right){\rm{ }}$$

$${\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}{\rm{ > 0}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$. Vậy dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

$${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ < 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{n}} - 1} \right){\rm{n}}}}{\rm{ }}$$

$${\rm{ = 1 + 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ = 2}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ < 2}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy (u$_{n}$) bị chặn trên.

$${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ > }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{3}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}{\rm{ }}$$

$${\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ > 0}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$$

Vậy (u$_{n}$) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số (u$_{n}$) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Vậy dãy số (u$_{n}$) tăng, bị chặn.

Đáp án cần chọn là: A

Ta sẽ chứng minh ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$

Với ${\rm{n = 1: }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\sqrt {{\rm{2023}}} {\rm{, }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}\sqrt {{\rm{2023 + }}\sqrt {{\rm{2023}}} }$

Ta có $\sqrt {2023} > 0 \Leftrightarrow 2023 + \sqrt {2023} > 2023 \Leftrightarrow \sqrt {2023 + \sqrt {2023} } > \sqrt {2023} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là ${{\rm{u}}_{{\rm{k + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{k}}}$. Ta phải chứng minh ${{\rm{u}}_{{\rm{k + 2 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}}$.

Thật vậy, ta có:

${{\rm{u}}_{{\rm{k + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{k}}} \Leftrightarrow 2023 + {{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}} > 2023 + {{\rm{u}}_{\rm{k}}} \Leftrightarrow \sqrt {2023 + {{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}}} > \sqrt {2023 + {{\rm{u}}_{\rm{k}}}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{k + 2 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}}$Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1. Do đó ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$ Vậy ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$. Vậy dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{a}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{na + a}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 1 + 2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{na + a}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 3}}}}$

Xét hiệu:

$${u_{n + 1}} - {u_n}{\rm{ = }}\frac{{na + a - 1}}{{n + 3}} - \frac{{na - 1}}{{n + 2}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {na + a - 1} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {na - 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}$$

${\rm{ = }}\frac{{\left( {{n^2}a + na - n + 2na + 2a - 2} \right) - \left( {{n^2}a - n + 3na - 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

${\rm{ = }}\frac{{{n^2}a + na - n + 2na + 2a - 2 - {n^2}a + n - 3na + 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{2a + 1}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Để $\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)$là dãy số tăng thì:

${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}} > 0,\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * } \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{\left( {{\rm{n + 3}}} \right)\left( {{\rm{n + 2}}} \right)}} > 0 \Leftrightarrow 2{\rm{a}} + 1 > 0 \Leftrightarrow {\rm{a}} > - \frac{1}{2}$Đáp án cần chọn là: B

Đặt${{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 3}}$Ta có:

$${{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3 = 1 + 3 = 4}}$$

$${{\rm{v}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + 3 = }}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 3}}} \right){\rm{ + 3 = 2}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 3}}} \right){\rm{ = 2}}{{\rm{v}}_{\rm{n}}}$$

Ta có:

$${{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}$$

$${{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}$$

$${{\rm{v}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}$$

$${{\rm{v}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{v}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}$$

$${{\rm{v}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{v}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}\left( {{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{4}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}$$

…

$${{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{v}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}\left( {{{\rm{2}}^{{\rm{n}} - {\rm{2}}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{2}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}$$

$$\Rightarrow {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{v}}_{\rm{n}}} - {\rm{3 = }}{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{3}}$$

Đáp án cần chọn là: D

**

Ta có:

$${{\rm{u}}_{{\rm{n + 12}}}}{\rm{ = 2023sin}}\frac{{\left( {{\rm{n + 12}}} \right){\rm{\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 2024cos}}\frac{{\left( {{\rm{n + 12}}} \right){\rm{\pi }}}}{{\rm{3}}}$$

$${\rm{ = 2023sin}}\left( {\frac{{{\rm{n\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 6\pi }}} \right){\rm{ + 2024cos}}\left( {\frac{{{\rm{n\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + 4\pi }}} \right)$$

$${\rm{ = 2023sin}}\frac{{{\rm{n\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 2024cos}}\frac{{{\rm{n\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$$

Đáp án cần chọn là: C

**

Ta có:

$${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.1 + 1 = 1 + 2}}{\rm{.1 + 1 = 4 = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}$$

$${{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2 + 1 = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.2 + 1 = 9 = }}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}$$

$${{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3 + 1 = }}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.3 + 1 = 16 = }}{{\rm{4}}^{\rm{2}}}$$

…

$${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{n - 1}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 1 = }}{\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 1 = }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}$$

Suy ra$- {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 2023n + 2024 = 0}} \Leftrightarrow - {{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2023n + 2024 = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{n = }} - 1\left( L \right)}\\{{\rm{n = 2024}}\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.$

Đáp án cần chọn là: D

$${u_{3k}}{\rm{ = }}\,\,sin\left( {\frac{{2.3k\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right)\,\,{\rm{ = }}\,\,sin\left( {k2\pi - \frac{\pi }{6}} \right)\,\,{\rm{ = }}\,\,sin\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\,\,{\rm{ = }} - \frac{1}{2}$$

$${u_{3k + 1}}{\rm{ = }}sin\left( {\frac{{2.\left( {3k + 1} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {k2\pi + \frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\frac{\pi }{2} = 1$$

$$u_{3k + 2}^{}{\rm{ = }}sin\left( {\frac{{2.\left( {3k + 2} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {k2\pi + \frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\frac{{7\pi }}{6}{\rm{ = }} - \frac{1}{2}$$

Do đó tổng của ba số hạng liên tiếp của dãy số bằng 0. Ta có:

$${{\rm{S}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}} \right){\rm{ + }}...{\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{{\rm{2020}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2021}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}} \right){\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ = 1}}$$

$${{\rm{S}}_{{\rm{2024}}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}} \right){\rm{ + }}...{\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{{\rm{2020}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2021}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}} \right){\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}$$

$${\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}{\rm{ = 1 + }}\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}$$

Vậy${\rm{T = }}{\left( {{{\rm{S}}_{{\rm{2023}}}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{S}}_{{\rm{2024}}}} - {\rm{3 = }}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3 = }} - {\rm{1}}$

Đáp án cần chọn là: C