20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Hàm số liên tục (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

B

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

B

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta thấy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

D

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ không xác định tại x = 0. Do đó f(x) liên tục trên (−∞; 0) và (0; +∞).

A

Hàm phân thức $y = \frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}}$ liên tục trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1); (1; 2) và (2; +∞).

D

Do hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}$ không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

A

Tập xác định D = ℝ.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right) = 4$;

f(2) = 4 Þ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 2.

C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{2}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + 2021} \right) = 2021$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số gián đoạn tại x = 0.

C

Ta có f(x) = x2 + 2x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên tập ℝ.

A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {5 - x} \right)}}{{ - x\sqrt {{x^2} + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {5 - x} \right)}}{{ - \sqrt {{x^2} + 4} }} = - \frac{5}{2}$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}} \right) = m - \frac{3}{2} = f\left( 0 \right)$.

Để hàm số liên tục tại x0 = 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ nên $m - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow m = - 1$.

a) Tập xác định ℝ\{±2}.

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −2); (−2; 2) và (2; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).

b) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = −2.

c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra a = 3; b = 4. Do đó a2 + b2 = 25.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( 1 \right){\rm{. }}$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

c) Ta có: $g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

d) Hàm số số $y = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{1 - x}}{4} = - \frac{1}{4}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = - \frac{1}{4}$.

c) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ nên hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

d) Với x < 2 thì $f\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{4}$ nên hàm số liên tục trên khoảng (−∞; 2).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Với m = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 1$.

b) c) d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1$;

f(2) = 4m – 3.

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow 4m - 3 = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0$ và x – 1 > 0 khi x → 1+.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3$.

c) Hàm số không xác định tại x = 1 nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 = 1.

d) Hàm số y = f(x) liên tục trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Với x Î (0; 1) thì T(x) = 15000 liên tục trên (0; 1).

Với x Î (1; 20) thì T(x) = a + (x – 1).14000 liên tục trên (1; 20).

Với x Î (20; +∞) thì T(x) = b + (x – 20).12000 liên tục trên (20; +∞).

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} T\left( x \right) = T\left( 1 \right) \Rightarrow a = 15000$.

Để hàm liên tục tại x = 20 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {20} \right) \Rightarrow b = 15000 + 14000.19 = 281000$.

Vậy $\frac{b}{a} = \frac{{281}}{{15}} \approx 18{,}7$.

Trả lời: 18,7.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - 1} - 1}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} = 1$.

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ Û m – 2024 = 1 Û m = 2025.

Trả lời: 2025.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + a} \right) = a - 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {3x + b} \right) = - 3 + b$; f(−1) = b – 3.

Vì hàm số liên tục tại x = −1 nên a – 1 = −3 + b Û a – b = −2.

Trả lời: −2.

Hàm số f(x) liên tục với ∀x ≠ 2.

Do đó f(x) liên tục trên ℝ Û f(x) liên tục tại x = 2 Û $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ (1).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3$; f(2) = m.

Khi đó (1) Û 3 = m Û m = 3.

Trả lời: 3.

Ta có v(5) = 10 + a; $\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} \left( {10 + a} \right) = 10 + a$; $\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} \left( {{t^2} - 5t + 10} \right) = 10$.

Để hàm số v(t) liên tục tại điểm t = 5 khi và chỉ khi 10 + a = 10 Û a = 0.

Trả lời: 0.