20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Đạo hàm cấp hai (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

B

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t$_{0}$ là f"(t$_{0}$).

D

f'(x) = 4(x + 1)$^{3}$; f"(x) = 12(x + 1)$^{2}$.

Ta có f"(2) = 12(2 + 1)$^{2}$ = 108.

D

$y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$; $y'' = \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}$.

A

Ta có y' = 6x$^{2}$ – 1; y" = 12x.

A

y' = 2cosx.(cosx)' = −2cosxsinx = −sin2x.

y" = −cos2x.(2x)' = −2cos2x.

A

Ta có f'(x) = 3x$^{2}$ + 2; f"(x) = 6x.

Suy ra f"(1) = 6.1 = 6.

C

Ta có $y' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}$; $y'' = - \frac{{{{\left( {\sqrt {2x + 5} } \right)}^\prime }}}{{2x + 5}} = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}$.

C

$y = - 3\cos x$$\Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x$.

Suy ra $y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

A

Có y' = lnx + 1; $y'' = \frac{1}{x}$.

Khi đó x$^{2}$y" – xy' + y = ${x^2}.\frac{1}{x} - x\left( {\ln x + 1} \right) + x\ln x = 0$.

A

Ta có $f'\left( x \right) = {\left( {x - {x^2}} \right)^\prime }{e^{x - {x^2}}} = \left( {1 - 2x} \right).{e^{x - {x^2}}}$;

$f''\left( x \right) = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}}$.

Có f"(x) = 0 $\Leftrightarrow - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = 0$$\Leftrightarrow \left[ {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} - 2} \right]{e^{x - {x^2}}} = 0$$\Leftrightarrow {\left( {1 - 2x} \right)^2} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x = \sqrt 2 \\1 - 2x = - \sqrt 2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$. Do đó ${x_1}{x_2} = - \frac{1}{4}$.

Ta có y' = 2cos2x; y" = −4sin2x.

a) y'(0) = 2.

b) 4y + y" = 4sin2x – 4sin2x = 0.

c) Phương trình y' = m Û $\cos 2x = \frac{m}{2}$.

Điều kiện để phương trình có nghiệm là $- 1 \le \frac{m}{2} \le 1$$\Leftrightarrow - 2 \le m \le 2$

Mà m Î ℤ nên m Î {−2; −1; 0; 1; 2}.

Do đó có 5 giá trị nguyên của tham số m.

d) Có yy' + y"cos2x = 2sin2xcos2x – 4sin2xcos2x = – 2sin2xcos2x.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) y' = x$^{2}$ – 2x – 3.

b) Có y' ≤ 0 Û x$^{2}$ – 2x – 3 ≤ 0 Û −1 ≤ x ≤ 3 mà x Î ℤ nên x Î {−1; 0; 1; 2; 3}.

Vậy tập nghiệm cần tìm có chứa 5 số nguyên.

c) Ta có y' = x$^{2}$ – 2x – 3 với $x = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow {y'_{\min }} = - 4$.

Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) là: $y' = - 4\left( {x - 1} \right) - \frac{{10}}{3} = - 4x + \frac{2}{3}$.

d) Ta có y" = 2x – 2 Þ x.y" – y' = 4 Û x$^{2}$ + 3 = 4 Û x$^{2}$ = 1 Û x = ±1.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có v(t) = s'(t) = 3t$^{2}$ – 6t + 3.

b) a(t) = v'(t) = 6t – 6.

c) Ta có v(t) = 3 Û 3t$^{2}$ – 6t + 3 = 3 Û 3t$^{2}$ – 6t = 0 Û t = 0 (loại) hoặc t = 2 (thỏa mãn).

Khi đó a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s$^{2}$.

d) s(2) = 2$^{3}$ – 3.2$^{2}$ + 3.2 – 1 = 1 m.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có v(t) = s'(t) = $4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)$; $a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)$.

a) $a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}$ cm/s$^{2}$.

b) $v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi$ cm/s.

c) Có $- 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2$.

Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là $4\pi \sqrt 2$ cm/s.

d) $- 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2$.

Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là $- 16{\pi ^2}\sqrt 2$ cm/s$^{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) f'(x) = (2x)'.e$^{2x}$ = 2.e$^{2x}$.

b) f"(x) = 4e$^{2x}$.

Có f"(ln3) = 4e$^{2ln3}$= 4.3$^{2}$ = 36.

c) Có f"(x) = 4 Û 4e$^{2x}$ = 4 Û e$^{2x}$ = 1 Û x = 0.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.

d) Có f"(x) ≤ 5e$^{x}$ – 1 Û 4e$^{2x}$ – 5e$^{x}$ + 1 ≤ 0 $\Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {e^{2x}} \le 1$$\Leftrightarrow - \ln 2 \le x \le 0$.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = [−ln2; 0].

Suy ra a = −ln2; b = 0. Khi đó M = e$^{b – 2a}$= e$^{2ln2}$ = 2$^{2}$ = 4.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

$f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$;

$f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$$= \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}$.

Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.

Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.

Trả lời: −6.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t$; a(t) = v'(t) = 2t$^{2}$ – 4t + 6.

Þ a(t) = 2(t$^{2}$ – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)$^{2}$ + 4 ≥ 4.

Dấu “=” xảy khi khi t = 1.

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là $v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4{,}67$ (m/s).

Trả lời: 4,67.

Có v(t) = x'(t) = $- {\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }.4\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$;

a(t) = v'(t) = $- 8\pi {\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }.\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 16{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$.

Khi đó a(5) = $- 16{\pi ^2}\cos \left( {10\pi + \frac{\pi }{3}} \right) = - 16{\pi ^2}\cos \frac{\pi }{3} \approx - 79\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$.

Trả lời: −79.

Có f'(x) = 3x$^{2}$ – 6mx + 1; f"(x) = 6x – 6m.

Để f"(1) = 18 thì 6.1 – 6m = 18 Û m = −2.

Trả lời: −2.

Ta có: $y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }},\,\,\,y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}$

Do đó: $A = {y^3}.y'' = - 1$.

Trả lời: −1.