20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Giới hạn của dãy số (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

D

lim(un – vn) = 6 – 12 = −6.

B

Ta có $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

A

$I = \lim \frac{{2n + 2023}}{{3n + 2024}}$$= \lim \frac{{2 + \frac{{2023}}{n}}}{{3 + \frac{{2024}}{n}}} = \frac{2}{3}$.

B

$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{{n^6} + 5{n^5}}}$$\lim \frac{{\frac{2}{{{n^4}}} - \frac{3}{{{n^6}}}}}{{1 + \frac{5}{n}}} = 0$.

A

$\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{4^n}}}$$= \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{1}$ = 0.

B

limun = a, limvn = +∞ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$.

A

Ta có $a = 2{,}151515... = 2 + \frac{{15}}{{100}} + \frac{{15}}{{{{100}^2}}} + \frac{{15}}{{{{100}^3}}} + ...$

Vì $\frac{{15}}{{100}} + \frac{{15}}{{{{100}^2}}} + \frac{{15}}{{{{100}^3}}} + ...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{{100}}$, công bội $q = \frac{1}{{100}}$ nên $a = 2 + \frac{{\frac{{15}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{71}}{{33}}$.

Suy ra m = 71; n = 33. Do đó m + n = 104.

A

Ta có $\lim \frac{{3n}}{{2{n^2} + 1}} = \lim \frac{{3n}}{{{n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{3}{{n\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = 0$.

D

$\lim \frac{{{{5.2}^{n + 2}} - {{2.3}^{n + 2}}}}{{7 + {3^{n + 1}}}}$$= \lim \frac{{{{20.2}^n} - {{18.3}^n}}}{{7 + {{3.3}^n}}}$$= \lim \frac{{20.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 18}}{{7.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 3}} = - 6$.

B

$\lim \left( {{n^5} - 3n + 2} \right)$$= \lim {n^5}\left( {1 - \frac{3}{{{n^4}}} + \frac{2}{{{n^5}}}} \right) = + \infty$.

a) $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b$.

b) $\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 2a - b$.

c) Vì b có thể bằng 0 nên $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ có thể không hữu hạn.

d) $\lim \frac{{{u_n} + 2{v_n}}}{{{u_n}}} = \lim \left[ {1 + \frac{{2{v_n}}}{{{u_n}}}} \right] = 1 + \frac{{2b}}{a}\left( {a \ne 0} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2$$\Leftrightarrow \lim \frac{{{n^2}\left( {2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = 2$$\Leftrightarrow \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow a = 1$.

b) $\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b$$\Leftrightarrow \lim \frac{{{3^n} + {4^n}.4}}{{{4^n} + 3}} = b$$\Leftrightarrow \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}{{1 + 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = b$$\Leftrightarrow 4 = b$.

c) Ta có a = 1; b = 4 Þ 2a – b = 2.1 – 4 = −2.

d) Ta có b2 = 16 và a.16 = 1.16 = 16 Þ b2 = a.16 nên theo tính chất của cấp số nhân ta có 1; 4; 16 lập thành một cấp số nhân với u1 = 1; q = 4.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $0{,}212121... = \frac{{21}}{{100}} + \frac{{21}}{{{{100}^2}}} + \frac{{21}}{{{{100}^3}}} + ...$

Vì $\frac{{21}}{{100}} + \frac{{21}}{{{{100}^2}}} + \frac{{21}}{{{{100}^3}}} + ...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = \frac{{21}}{{100}}$và $q = \frac{1}{{100}}$ nên $0{,}212121... = \frac{{\frac{{21}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{7}{{33}}$.

Suy ra a = 7; b = 33. Do đó a + b = 40.

b) Ta có 2b = 2.33 = 66; a + 58 = 7 + 58 = 65.

Do 2b ≠ a + 58 nên ba số a; b; 58 không lập thành một cấp số cộng.

c) $4{,}333... = 4 + \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + ....$

Ta có $\frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + ....$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = \frac{3}{{10}}$ và $q = \frac{1}{{10}}$ nên $4{,}333... = 4 + \frac{{\frac{3}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{13}}{3}$.

Suy ra c = 13; d = 3. Do đó c + d = 16.

d) limc = lim13 = 13.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{\frac{3}{{n + 3}}}} = \lim \frac{{n + 3}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{3}{n}}}{{3\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{1}{3}$.

b) lim(vn + 1) = limvn + 1 = $\lim \frac{3}{{n + 3}} + 1 = 0 + 1 = 1$.

c) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |un| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) lim(un – vn) = limun – limvn = $\lim \frac{1}{{n + 1}} - \lim \frac{3}{{n + 3}} = 0 - 0 = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{7}} \right)^n} = 0$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n} = + \infty$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{4.3}^n} - {{8.7}^n}}}{{{{12.3}^n} - {{19.7}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 8}}{{12.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 19}} = \frac{8}{{19}}$.

d) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{4.3}^n} - {7^{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n}\left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 7} \right]$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 7} \right] = - 7 < 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

$\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right)$$= \lim \left( {\frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{{2^n}}} + 2024} \right)$.

Vì $\lim \left( {3 - \frac{1}{n}} \right) = 3;\lim {2^n} = + \infty$ nên $\lim \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{{2^n}}} = 0$.

Vậy $\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right) = 2024$.

Trả lời: 2024.

Dãy số $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\forall n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.$ là một cấp số cộng với u1 = −1 và d = 3.

Khi đó un = −1 + (n – 1).3 = 3n – 4.

Khi đó $\lim \frac{{{u_n}}}{{5n + 2024}}$$= \lim \frac{{3n - 4}}{{5n + 2024}}$$= \lim \frac{{3 - \frac{4}{n}}}{{5 + \frac{{2024}}{n}}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

Trả lời: 0,6.

Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là ${a_1} = \frac{5}{2};{a_2} = \frac{5}{4};{a_3} = \frac{5}{8};...$

Diện tích của các hình vuông lần lượt là ${S_1} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2};{S_2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2};{S_3} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2};...$

Các diện tích S1; S2; S3; ... tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là ${S_1} = \frac{{25}}{4}$ và $q = \frac{1}{4}$.

Do đó, tổng diện tích các hình vuông $S = \frac{{\frac{{25}}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{25}}{3} \approx 8{,}33$.

Trả lời: 8,33.

Ta có 0,511111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...

Xét tổng 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ....

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u1 = 0,01 và công bội $q = \frac{1}{{10}}$.

Vì vậy 0,511111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = $0{,}5 + \frac{{0{,}01}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{23}}{{45}}$.

Suy ra $a = 23;b = 45$. Khi đó |b – 2a| = 1.

Trả lời: 1.

$\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 2n} - 3n}}{{4n + 3}}$$= \lim \frac{{\sqrt {9 + \frac{2}{n}} - 3}}{{4 + \frac{3}{n}}} = \frac{{3 - 3}}{4} = 0$.

Trả lời: 0.