20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

B

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

D

$Q'\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$.

B

Hệ số góc của tiếp tuyến là f'(x$_{0}$).

C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M$_{0}$(x$_{0}$; f(x$_{0}$)) là

y = f'(x$_{0}$)(x – x$_{0}$) + f(x$_{0}$).

A

Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t$_{0}$ là: f'(t$_{0}$).

A

$f'\left( e \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln x - \ln e}}{{x - e}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln x - 1}}{{x - e}}$.

B

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là

$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - {2^3}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 12$.

B

$f'\left( 6 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = 2$.

D

Ta có $f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} + 1 + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left[ {2\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right] = 6$.

C

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là

$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} + 3{x^2} - 20}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 10} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) = 24$.

Có f(2) = 18

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 24(x – 2) + 18 = 24x – 30.

a) Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x$_{0}$ là k = f'(x$_{0}$).

b) $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2x - x_0^3 + 2{x_0}}}{{x - {x_0}}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right)}}{{x - {x_0}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right) = 3x_0^2 - 2$.

c) f'(2) = 3.2$^{2}$ – 2 = 10.

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là y = 10(x – 2) + 4 = 10x – 16.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t > 0 là v(t) = s'(t) m/s.

b) Ta có $\Delta s = s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right) = - {\left( {t + \Delta t} \right)^2} + 6\left( {t + \Delta t} \right) + 9 - \left( { - {t^2} + 6t + 9} \right)$ = (∆t)$^{2}$ – 2t∆t + 6∆t.

Suy ra $s'\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta t} \right)}^2} - 2t\Delta t + 6\Delta t}}{{\Delta t}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {\Delta t - 2t + 6} \right) = - 2t + 6$.

c) v(2) = s'(2) = −2.2 + 6 = 2 m/s.

d) Vật dừng lại khi v(t) = 0 Û −2t + 6 = 0 Û t = 3 giây.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$.

b) Hệ số góc tiếp tuyến (C) tại điểm có hoành độ x$_{0}$ = 1 là f'(1).

c) $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 2} \right) = - 1$.

d) Có f(1) = −2.

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x$_{0}$ = 1 có phương trình là

y = −(x – 1) −2 = −x – 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$.

b) f(1) = 4.

$f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}$.

c) $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right) = 5$.

d) f'(1) = 5 < 6.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) b) Ta có: $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - \left( { - 2} \right)}}{x}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3$.

Vậy $f'\left( 0 \right) = 3$.

c) Ta có 3$^{x}$ = 3Û x = 1 = 3 – 2.

d) log$_{3}$9 = 2.

a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Thời gian để bóng chạm đất là nghiệm của phương trình:

4,9t$^{2}$ = 313,6 Û t = 8 (vì t > 0).

Ta có v(t) = s'(t) $= \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right)}}{{\Delta t}}$$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{4{,}9{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - 4{,}9{t^2}}}{{\Delta t}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 9{,}8t.\Delta t}}{{\Delta t}}$$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {\Delta t + 9{,}8t} \right) = 9{,}8t$.

Vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là v(8) = 9,8.8 = 78,4 m/s.

Trả lời: 78,4.

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x$_{0}$ = −1 là:

$f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1$.

Trả lời: 1.

Ta có $V = 5000{\left( {1 - \frac{1}{{40}}t} \right)^2} = 5000\left( {1 - \frac{1}{{20}}t + \frac{1}{{1600}}{t^2}} \right)$.

Ta có $\Delta V = V\left( {t + \Delta t} \right) - V\left( t \right) = 5000\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{20}}\left( {t + \Delta t} \right)} \right) + \frac{1}{{1600}}{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - \left( {1 - \frac{1}{{20}}t + \frac{1}{{1600}}{t^2}} \right)} \right]$

$= 5000\left[ { - \frac{1}{{20}}\Delta t + \frac{1}{{1600}}\Delta t\left( {2t + \Delta t} \right)} \right]$.

Suy ra $\frac{{\Delta V}}{{\Delta t}} = 5000\left[ { - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{1600}}\left( {2t + \Delta t} \right)} \right]$.

Khi đó $Q = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta V}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left[ {5000\left( { - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{1600}}\left( {2t + \Delta t} \right)} \right)} \right] = - 250 + \frac{{25}}{4}t$.

Khi đó lưu lượng nước chảy sau 5 phút là $- 250 + \frac{{25}}{4}.5 \approx - 219$ lít/ phút.

Trả lời: −219.

${\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.$

Vậy ${\rm{ }}f'\left( 2 \right) = 24.{\rm{ }}$

Trả lời: 24.

Hệ số góc của tiếp tuyến là $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - {x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { - x - 1} \right) = - 2$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2(x −1) – 1 = −2x + 1.

Suy ra a = −2; b = 1. Do đó a + b = −1.

Trả lời: −1.