20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7 (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 1 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 45^\circ$. Chọn C.

Gọi $I\left( {a;b} \right)$.

Theo đề ta có $IA = IB = IC$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = 4\\8b = 16\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right)$. Chọn B.

Lời giải

Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có dạng $x + 2y + c = 0$.

Vì $d$ đi qua điểm $A\left( {1;2} \right)$ nên $1 + 2 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c = - 5$.

Vậy $d:x + 2y - 5 = 0$. Chọn D.

Ta có $R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = 5$.

Phương trình đường tròn có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {4; - 2} \right)$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25$ hay ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {2; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$. Chọn A.

Ta có $d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 3} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2$.

Khi đó $R = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13$. Chọn D.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {5; - 2} \right),R = 5\sqrt 2$.

a) Ta có $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - \left( { - 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 = R$.

Do đó đường thẳng $\Delta :x - y + 3 = 0$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)$.

Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A$ nhận $\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$- 7\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0$ hay $7x - y + 13 = 0$.

c) Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường tròn ta thấy thỏa mãn.

Do đó điểm $A$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$.

d) Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $d:x + y + 7 = 0$ có dạng $d':x + y + c = 0,c \ne 7$

Lại có $d\left( {I,d'} \right) = R$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {5 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 5\sqrt 2$$\Leftrightarrow \left| {3 + c} \right| = 10$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + c = 10\\3 + c = - 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 13\end{array} \right.$.

Vì $c \ne 7$ nên $c = - 13$.

Vậy có 1 tiếp tuyến là $d':x + y - 13 = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$.

b) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)$ nên nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương và điểm $A\left( {2;0} \right)$ thuộc $d$ nhưng không thuộc $\Delta$.

Do đó hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ song song với nhau.

c) Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\left( {4;3} \right)$ có dạng $4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0$ hay $4x + 3y - 17 = 0$.

d) Ta có $d\left( {d,\Delta } \right) = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{7}{5}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)$.

b) Ta có $d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2$.

c) Đường thẳng $d$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;2} \right)$.

Khi đó ${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

d) Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)$ và trục $Ox$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {d,Ox} \right) = 45^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Đường thẳng $d$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right)$ nên $OA = OB,OA \bot OB$.

Do đó tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$.

b) Đường tròn tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$ có bán kính $R = \frac{{\left| { - 1 + 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1} \right) = \overrightarrow {{u_d}}$ và $A \notin d$ nên đường thẳng $AB$ song song với $d$.

d) Ta có $A,B$ nằm cùng phía với đường thẳng $d$.

Gọi $A'$ đối xứng với $A$ qua $d$.

Ta có $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$.

Khi đó giá trị nhỏ nhất của $MA + MB$ bằng $A'B$ khi đó $M$ là giao điểm của $A'B$ với $d$.

Mặt khác $AB$ song song $d$ nên $M$ là trung điểm của $A'B$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $MI//AA' \Rightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $d$.

Ta có $I\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$.

$MI \bot d$ nên $MI:x - y + c = 0$.

Lại có $I \in MI$ nên $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + c = 0 \Rightarrow c = 2$.

Do đó $MI:x - y + 2 = 0$.

Khi đó $MI \cap d = \left\{ M \right\} \Rightarrow M\left( {0;2} \right)$$\Rightarrow a = 0;b = 2 \Rightarrow a + b = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Có ${a^2} = 25;{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4$.

Tiêu cự là $2c = 8$.

b) Tiêu điểm ${F_1}\left( { - 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)$.

c) Thay tọa độ điểm $K\left( {3;0} \right)$ vào phương trình $\left( E \right)$ ta thấy không thỏa mãn.

Do đó $K\left( {3;0} \right)$ không thuộc $\left( E \right)$.

d) Có $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{B^2}}} = 1$ có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của $\left( E \right)$ nên ${A^2} + {B^2} = 16$.

Lại có $\left( H \right)$ đi qua điểm $N\left( {\sqrt {15} ;1} \right)$ nên $\frac{{15}}{{{A^2}}} - \frac{1}{{{B^2}}} = 1 \Rightarrow 15{B^2} - {A^2} = {A^2}{B^2}$$\Rightarrow 240 - 16{A^2} = {A^2}\left( {16 - {A^2}} \right)$$\Rightarrow {A^4} - 32{A^2} + 240 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{A^2} = 12\left( {TM} \right)\\{A^2} = 20\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$.

Với ${A^2} = 12 \Rightarrow A = 2\sqrt 3$.

Suy ra $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 4\sqrt 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Vì đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( { - 1;2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.$ nên $\Delta$ có dạng $2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0$ hay $2x - 3y + 8 = 0$.

Vì $\Delta$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ nên $A\left( { - 4;0} \right);B\left( {0;\frac{8}{3}} \right)$.

Khi đó ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3} \approx 5{,}33$.

Trả lời: 5,33.

Đường thẳng $d$ đi qua $O$ có dạng $ax + by = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$.

Ta có $d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$; $d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Do đó $d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)$$= \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Do $A,B$ nằm cùng phía với đường thẳng $d$ nên $10a + 2b$và $- 10a + 8b$ phải cùng dấu.

Do đó $\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right| = \left| {10a + 2b + \left( { - 10a} \right) + 8b} \right| = \left| {10b} \right|$.

Do đó $d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đặt $a = kb,b \ne 0$. Khi đó $d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{k^2}{b^2} + {b^2}} }} = \frac{{10\left| b \right|}}{{\left| b \right|\sqrt {{k^2} + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}$.

Để $\frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}$ lớn nhất thì $\sqrt {{k^2} + 1}$ nhỏ nhất khi $k = 0$$\Rightarrow a = 0$.

Khi đó đường thẳng $d$ là trục hoành $y = 0$.

Vậy $d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)$ lớn nhất là 10.

Trả lời: 10.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2; - 1} \right)$ và $R = 5$.

Vì tiếp tuyến $d$ của đường tròn $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $\Delta$ có dạng $3x - 4y + c = 0,c \ne - 35$.

Lại có $d\left( {I,d} \right) = R$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5$$\Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c = - 25\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.$.

Vì $c \ne - 35$ nên $c = 15$. Do đó $d:3x - 4y + 15 = 0$.

Suy ra $b = - 4;c = 15$. Vậy $b + c = 11$.

Trả lời: 11.

Dựa vào hình vẽ ta thấy elip đi qua 2 điểm $\left( {5;0} \right);\left( {0;3} \right)$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\\frac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.$.

Vậy $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Đường thẳng $d$ song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2 có phương trình là $y = 2$ hoặc $y = - 2$.

Xét trường hợp $y = 2$ (tương tự $y = - 2$).

Tọa độ giao điểm của elip với đường thẳng $y = 2$là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\\y = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right);{M_2}\left( { - \frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right)$.

Ta có $OM_2^2 = {\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} + {2^2}$.

Ta có ${M_1}{M_2} = 2I{M_2} = 2\sqrt {OM_2^2 - I{O^2}} = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + {2^2} - {2^2}} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7{,}45$.

Trả lời: 7,45.

Theo đề ta có phương trình đường chuẩn $d$ là $x = - 1 \Rightarrow p = 2$.

Do đó $\left( P \right):{y^2} = 4x$.

Vì $M \in \left( P \right) \Rightarrow MF = d\left( {M,d} \right) = MH$.

Do đó $2M{H^2} + 3MF = 44$$\Leftrightarrow 2M{H^2} + 3MH = 44$$\Leftrightarrow MH = 4$ vì $MH > 0$.

Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ nên $MH = d\left( {M,d} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right| = {x_0} + 1$ (vì ${x_0} > 0$).

Do đó ${x_0} + 1 = 4 \Rightarrow {x_0} = 3$.

Vậy hoành độ của điểm $M$ là 3.

Trả lời: 3.