20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9. Tích của một vectơ với một số (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a$.

Đáp án đúng là: B

Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow$$M$là trung điểm của $IC$.

Đáp án đúng là: C

$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB}$.

Đáp án đúng là: C

Kẻ $MK\,{\rm{//}}\,BP\,\left( {K \in AC} \right)$. Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $K$ là trung điểm của $CP$.

Vì $MK{\rm{//}}BP \Rightarrow MK{\rm{//}}NP$ mà $N$ là trung điểm của $AM$ nên suy ra $P$ là trung điểm của $AK$.

Do đó: $AP = PK = KC$. Vậy $\overrightarrow {AC} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {CP} \Rightarrow x = - \frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {GM} + \left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right) = 2\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GB}$

$= \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}$.

Vậy $p = \frac{5}{4},q = - \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $AD$ là phân giác trong của tam giác $ABC$ nên:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \frac{5}{7}\overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{5}{7}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: A

$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) + \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} = 6\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 2$.

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính là 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có A, K, D thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = n\overrightarrow {AK} = n\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IK} } \right)$ (1)

Ta có $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {BD} = 2\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = 2\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {AD}$.

Suy ra $2\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BE} - 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AE} - 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE}$

$= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

$= 3\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} = 3\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} } \right) = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ}$.

Mà $\overrightarrow {IK} = m\overrightarrow {IJ}$ nên $2\overrightarrow {AD} = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{{2m}}\overrightarrow {IK} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{9}{4}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{{4m}}\overrightarrow {IK}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{3}{{4m}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$.

a) Đúng. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0$.

b) Đúng. Do $N$ là trung điểm của $CD$ nên ta có $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \vec 0$.

c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN}$. (1)

d) Đúng. Ta lại có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN}$. (2)

Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được

$2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right)$.

Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}$.

a) Sai. Theo tính chất trung điểm đoạn thẳng BC ta có $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$.

b) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {CM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CG}$.

c) Đúng. Do M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó ta có $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$;

$\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM}$.

Suy ra

$\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}$.

Do đó $\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM}$.

a) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

b) Sai. Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} .$

c) Sai. Ta có $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MP}$.

Suy ra $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}$ cùng phương. Vậy ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng.

a) Sai. $AC = 2AO$ và vectơ $\overrightarrow {AC} , \overrightarrow {AO}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO}$.

b) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Mặt khác $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO}$. Vậy $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO}$.

c) Đúng. $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 , \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

d) Sai.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OD}$

$= 4\overrightarrow {GO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {GO}$.

Nên suy ra $\left| {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {GO} } \right| = 4GO$.

Vì hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ cạnh $a$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{6}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right| = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$.

a) Đúng. Xét tam giác $ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên $AB \bot BD$; mặt khác $AB \bot CH$ nên $BD{\rm{//}}CH$ (1).

b) Đúng. Tương tự, tam giác $ACD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên $AC \bot CD$; mặt khác $AC \bot BH$ nên $CD{\rm{//}}BH$ (2).

c) Sai. Từ (1) và (2) suy ra $BDCH$ là hình bình hành.

Khi đó, $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO}$ (vì $O$ là trung điểm $AD$).

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HC}$

$= 3\overrightarrow {OH} + \left( {\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right) = 3\overrightarrow {OH} + 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {OH} {\rm{. }}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có: $\tan A = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow BC = AB \cdot \tan A = a\tan 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$,

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}}$$= 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{3}.$

Vậy $m = 39$.

Đáp án: 39.

Ta có $\overrightarrow {{F_2}} = - 2{\vec F_1}$.

Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng $\vec 0$

$\Leftrightarrow {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow {\vec F_1} - 2{\vec F_1} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} + {\vec F_4} = {\vec F_1}$.

Đặt ${\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} ,{\vec F_3} = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {OD}$.

Ta có ${\vec F_3} + {\vec F_4} = {\vec F_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA}$. Do đó $OCAD$ là hình bình hành.

Mặt khác $OC = OD = 20$ và $\widehat {COD} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ nên $OCAD$ là hình vuông.

Khi đó $\left| {{{\vec F}_1}} \right| = OA = 20\sqrt 2 \;{\rm{N}},\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\left| {{{\vec F}_1}} \right| = 40\sqrt 2 \;{\rm{N}} \approx {\rm{56{,}6}}\,\,{\rm{N}}$.

Đáp án: 56,6.

$3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IC} - 2\overrightarrow {ID} = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {ID} } \right) = \vec 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {DC} = \vec 0 \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$.

$\overrightarrow {JA} - 2\overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} - 2\left( {\overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = 2\overrightarrow {AD}$.

$\overrightarrow {IO} = \overrightarrow {AO} - \overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

$\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AJ} - \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD}$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\overrightarrow {IO} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {IJ} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}6\overrightarrow {IO} = - \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} \\\frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} = - \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} \end{array}\end{array} \Rightarrow 6\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ} = 4\overrightarrow {IO} } \right.} \right.$.

Đáp án: 4.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ} \left( 1 \right)\\\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:

$2\overrightarrow {IJ} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} } \right) = \vec 0 + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \vec 0 = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$.

Suy ra $k = 2$.

Đáp án: 2.

Ta có $2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ (1), $2\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC}$ (2), $2\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB}$ (3).

Cộng theo vế (1), (2), (3): $2\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \vec 0{\rm{. }}$

Suy ra $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} = \vec 0$.

Do vậy $\left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} } \right| = 0$.

Đáp án: 0.