20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25. Nhị thức Newton (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Ta có ${\left( {2 + x} \right)^5} = {2^5} + 5 \cdot {2^4} \cdot x + 10 \cdot {2^3} \cdot {x^2} + 10 \cdot {2^2} \cdot {x^3} + 5 \cdot 2 \cdot {x^4} + {x^5}$

$= 32 + 80x + 80{x^2} + 40{x^3} + 10{x^4} + {x^5}$.

Tổng các hệ số là $32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243$. Chọn B.

${\left( {a + 2b} \right)^5} = {a^5} + 5 \cdot {a^4} \cdot \left( {2b} \right) + 10{a^3} \cdot {\left( {2b} \right)^2} + 10{a^2} \cdot {\left( {2b} \right)^3} + 5a \cdot {\left( {2b} \right)^4} + {\left( {2b} \right)^5}$.

Vậy hệ số của ${a^3}{b^2}$ là $10 \cdot 4 = 40$. Chọn D.

Ta có

${\left( {2{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 10 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2{x^2}} \right) \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^5}$

$= 32{x^{10}} - 40{x^8} + 20{x^6} - 5{x^4} + \frac{5}{8}{x^2} - \frac{1}{{32}}$.

Số hạng chứa ${x^6}$ trong khai triển là $20{x^6}$. Chọn B.

Thay $x = 1$ vào biểu thức ta được $P\left( 1 \right) = {\left( {2 - 3 \cdot 1} \right)^4} = {a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0} = 1$.

Vậy $S = 1$. Chọn D.

${\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)^4} = 1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} + 6 \cdot {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^2} + 4 \cdot {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^4}$$= 9 + 6 \cdot \sqrt[3]{2} + 6 \cdot \sqrt[3]{4}$.

Suy ra ${a_1} = {a_2} = 6 \Rightarrow {a_1}{a_2} = 36$. Chọn D.

Số hạng chứa $x$ trong khai triển ${\left( {x - 2} \right)^4}$ là $4x \cdot {\left( { - 2} \right)^3} = - 32x$.

Suy ra số hạng chứa ${x^2}$ trong khai triển $x{\left( {x - 2} \right)^4}$ là $- 32{x^2}$.

Do đó số hạng chứa ${x^2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $P\left( x \right) = 4{x^2} + x{\left( {x - 2} \right)^4}$ là

$4{x^2} - 32{x^2} = - 28{x^2}$. Chọn B.

${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}$$= {x^4} + 4 \cdot {x^2} + 6 + 4 \cdot \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}$.

a) Hệ số của ${x^2}$ là $4$.

b) Số hạng không chứa $x$ là 6.

c) Hệ số của ${x^4}$ là 1.

d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $C_5^3 = C_5^2$.

b) Khai triển ${\left( {2x + 3y} \right)^5}$ có 6 số hạng.

c) ${\left( {2x + 3y} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \left( {3y} \right) + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( {3y} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( {3y} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( {3y} \right)^4} + {\left( {3y} \right)^5}$

$= 32{x^5} + 240{x^4}y + 720{x^3}{y^2} + 1080{x^2}{y^3} + 810x{y^4} + 243{y^5}$.

Khai triển ${\left( {2x + 3y} \right)^5}$ có số hạng chứa ${x^2}{y^3}$ là $1080{x^2}{y^3}$.

d) Tổng các hệ số là $32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = 3125$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

${\left( {3x - \frac{2}{5}} \right)^4} = {\left( {3x} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot \left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right) + 6 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^2} + 4 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^3} + {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^4}$

$= 81{x^4} - \frac{{216}}{5}{x^3} + \frac{{216}}{{25}}{x^2} - \frac{{96}}{{125}}x + \frac{{16}}{{625}}$.

a) Hệ số của ${x^2}$ là ${b_2} = \frac{{216}}{{25}}$.

b) Tổng các hệ số là $81 - \frac{{216}}{5} + \frac{{216}}{{25}} - \frac{{96}}{{125}} + \frac{{16}}{{625}} = \frac{{28561}}{{625}}$.

c) Hệ số của ${x^3}$ là ${b_3} = - \frac{{216}}{5}$.

d) Tổng của các hệ số chứa lũy thừa lẻ của $x$ bằng $- \frac{{216}}{5} - \frac{{96}}{{125}} = - \frac{{5496}}{{125}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

${\left( {x + y} \right)^4} + {\left( {x - y} \right)^4}$$= {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4} + {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}$

$= 2{x^4} + 12{x^2}{y^2} + 2{y^4}$.

a) Hệ số của ${x^4}$ là 2.

b) Hệ số của ${y^4}$ là 2.

c) Hệ số của ${x^2}{y^2}$ là 12.

d) Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của $x$ lớn hơn lũy thừa của $y$ bằng 2.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Khai triển này có $n + 1$ số hạng.

b) Ta có ${\left( {1 - 2x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1 \cdot \left( { - 2x} \right) + C_n^2 \cdot {\left( { - 2x} \right)^2} + ... + C_n^n \cdot {\left( { - 2x} \right)^n}$.

Suy ra ${a_n} = C_n^n \cdot {\left( { - 2} \right)^n} = - 32 \Rightarrow n = 5$.

c) ${\left( {1 - 2x} \right)^5} = 1 + 5\left( { - 2x} \right) + 10 \cdot {\left( { - 2x} \right)^2} + 10 \cdot {\left( { - 2x} \right)^3} + 5 \cdot {\left( { - 2x} \right)^4} + {\left( { - 2x} \right)^5}$

$= 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}$.

Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ là 80.

d) Tổng các hệ số là $1 - 10 + 40 - 80 + 80 - 32 = - 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

${\left( {3{x^3} - 2} \right)^5} = {\left( {3{x^3}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^4} \cdot \left( { - 2} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^3}} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^4} + {\left( { - 2} \right)^5}$

$= 243{x^{15}} - 810{x^{12}} + 1080{x^9} - 720{x^6} + 240{x^3} - 32$.

Hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $- 720$.

Trả lời: −720.

${\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \left( {\frac{1}{{2x}}} \right) + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^4}$$= {x^4} + 2{x^2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{16{x^4}}}$.

Số hạng không chứa $x$ là $\frac{3}{2} = 1{,}5$.

Trả lời: 1,5.

$${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + 5 \cdot {3^4} \cdot \left( {\sqrt 2 } \right) + 10 \cdot {3^3} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10 \cdot {3^2} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5 \cdot 3 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}$$

$= 243 + 405\sqrt 2 + 540 + 180\sqrt 2 + 60 + 4\sqrt 2$$= 843 + 589\sqrt 2$.

$${\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} - 5 \cdot {3^4} \cdot \left( {\sqrt 2 } \right) + 10 \cdot {3^3} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 10 \cdot {3^2} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5 \cdot 3 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}$$

$= 243 - 405\sqrt 2 + 540 - 180\sqrt 2 + 60 - 4\sqrt 2$$= 843 - 589\sqrt 2$.

Vậy ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}$$= 843 + 589\sqrt 2 - \left( {843 - 589\sqrt 2 } \right) = 1178\sqrt 2$.

Suy ra $a = 0;b = 1178$. Vậy $a + b = 1178$.

Trả lời: 1178.

Xét khai triển ${\left( {1 - x} \right)^4} = C_4^0 + C_4^1 \cdot \left( { - x} \right) + C_4^2 \cdot {\left( { - x} \right)^2} + C_4^3 \cdot {\left( { - x} \right)^3} + C_4^4 \cdot {\left( { - x} \right)^4}$

$= C_4^0 - C_4^1 \cdot x + C_4^2 \cdot {x^2} - C_4^3 \cdot {x^3} + C_4^4 \cdot {x^4}$.

Thay $x = 3$ vào biểu thức ta được ${\left( {1 - 3} \right)^4} = C_4^0 - C_4^1 \cdot 3 + C_4^2 \cdot {3^2} - C_4^3 \cdot {3^3} + C_4^4 \cdot {3^4}$

$\Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^4} = C_4^0 - 3C_4^1 + 9C_4^2 - 27C_4^3 + 81C_4^4$.

Vậy $S = 16$.

Trả lời: 16.

Số dân của tỉnh A sau 5 năm (từ năm 2022 đến năm 2027) là $2 \cdot {\left( {1 + \frac{{1{,}5}}{{100}}} \right)^5} \approx 2{,}2$ triệu người.

Trả lời: 2,2.