20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22. Ba đường conic (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Gọi $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a > 0,b > 0} \right)$.

Vì $\left( H \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {4;\sqrt 8 } \right)$ và $N\left( {2\sqrt 3 ;2} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 8 } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{8}\\\frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 8\\{b^2} = 8\end{array} \right.$. Vậy $\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1$. Chọn B.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\\{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 5 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\{b^2} = 20\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 20\end{array} \right.$.

Vậy $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1$. Chọn B.

a) Tọa độ một tiêu điểm của elip $\left( E \right)$ là $\left( {5;0} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {13; - 12} \right)$ vào phương trình $\left( E \right)$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy Elip $\left( E \right)$không đi qua điểm $A\left( {13; - 12} \right)$.

c) Ta có $c = \sqrt {169 - 144} = 5$. Suy ra ${F_1}{F_2} = 2c = 10$.

d) $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Gọi $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$.

Vì $\left( E \right)$ đi qua điểm $M$ nên $\frac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9$.

Mà $\left( E \right)$ có một tiêu điểm $F\left( {5;0} \right)$ nên $\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 5 \Rightarrow {a^2} = 34$.

Vậy $\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

b) Cho $y = 0 \Rightarrow {x^2} = 34 \Rightarrow x = \pm \sqrt {34}$.

Do đó $A\left( { - \sqrt {34} ;0} \right),B\left( {\sqrt {34} ;0} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {34}$.

c) Ta có $c = 5 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 10$.

d) Tọa độ điểm $M,N$là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\2x - y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{4{x^2}}}{9} = 1\\y = 2x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{306}}{{145}}\\y = 2x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt {\frac{{306}}{{145}}} \\y = 2x\end{array} \right.$.

Suy ra $M\left( { - \sqrt {\frac{{306}}{{145}}} ; - 2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right);N\left( {\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} ;2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)$.

Khi đó $MN = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)}^2}} \approx 6$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Gọi $\left( P \right):{y^2} = 2px$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ nên $1 = 2p \cdot 1 \Leftrightarrow p = \frac{1}{2}$.

Vậy ${y^2} = x$.

b) Tiêu điểm của $\left( P \right)$ là $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$.

c) Đường chuẩn của $\left( P \right)$ là $\Delta :x + \frac{1}{4} = 0$.

d) Có ${\left( { - 2} \right)^2} = x \Rightarrow x = 4$.

Vậy $M\left( {4; - 2} \right)$. Khi đó $MF = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4} - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2}} = \frac{{17}}{4}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Có $a = 2;b = 3$.

b) ${F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)$ là hai tiêu điểm của hypebol.

c) $M\left( {5;{y_M}} \right)$ thuộc hypebol nên $\frac{{{5^2}}}{4} - \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1 \Rightarrow y_M^2 = \frac{{189}}{4} \Rightarrow {y_M} = \frac{{3\sqrt {21} }}{2}$ (vì ${y_M} > 0$).

d) Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\sqrt 2 \\y = 3\end{array} \right.$.

Suy ra $AB = 4\sqrt 2$.

Khi đó ${S_{AOB}} = \frac{1}{2}d\left( {O,y = 3} \right) \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt 2 = 6\sqrt 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) ${a^2} = 25;{b^2} = 9$.

b) $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4$.

Vậy elip có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 4;0} \right);{F_2}\left( {4;0} \right)$.

c) Cho $y = 0 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.

Vậy elip cắt cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là ${A_1}\left( { - 5;0} \right);{A_2}\left( {5;0} \right)$.

d) Cho $x = 0 \Rightarrow {y^2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$.

Vậy elip cắt trục tung tại 2 điểm có tọa độ là ${B_1}\left( {0; - 3} \right);{B_2}\left( {0;3} \right)$.

Khi đó diện tích hình thoi ${A_1}{B_1}{A_2}{B_2}$ là $S = {A_1}{A_2} \cdot {B_1}{B_2} = 60$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - \frac{{{b^2}}}{9} = 1\\{a^2} + {b^2} = 11\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 2\\{b^2} = 9\end{array} \right.$. Suy ra $b = 3$ vì $b > 0$.

Trả lời: 3.

Tọa độ điểm $M,N$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 4x\\x - 2y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 8y\\x = 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 8\end{array} \right.$.

Suy ra $M\left( {0;0} \right),N\left( {16;8} \right)$. Do đó $M{N^2} = {16^2} + {8^2} = 320$.

Trả lời: 320.

Vì $M \in \left( E \right)$nên $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8$ mà $M{F_1} + 2M{F_2} = 11$ nên $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 5\\M{F_2} = 3\end{array} \right.$.

Do đó $5M{F_1} + M{F_2} = 28$.

Trả lời: 28.

Theo đề bài con tàu nhận được tín hiệu từ $B$ sớm hơn từ $A$ 500 micro giấy.

Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 300 mét/micro giây nên hiệu số khoảng cách từ con tàu tới $A$ và $B$ là $500 \cdot 300 = 150000 = 150\;{\rm{km}}$.

Hiệu khoảng cách này là $2a = 150 \Rightarrow a = 75$.

Con tàu nằm trên một nhánh của hypebol, với hai tháp vô tuyến $A$ và $B$ là hai tiêu điểm, $A$ và $B$ cách nhau 200 km, nghĩa là $2c = 200 \Rightarrow c = 100$.

Theo tính chất của hypebol ta có $b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {{{100}^2} - {{75}^2}} = \sqrt {4375}$.

Phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{{{x^2}}}{{5625}} - \frac{{{y^2}}}{{4375}} = 1$.

Vì con tàu nằm ở phía Bắc của tháp $B$, nghĩa là có hoành độ $x = c = 100$.

Thay $x = 100$ vào phương trình ta có $y \approx 58{,}3$.

Vậy tàu cách bờ biển 58,3 km.

Trả lời: 58,3.

Ta có $A \in \left( P \right) \Rightarrow A\left( {{m^2};2m} \right)$, đường chuẩn $\Delta :x = - 1$.

Khoảng cách từ $A$ đến đường chuẩn $d\left( {A,\Delta } \right) = \left| {{m^2} + 1} \right| = 5 \Rightarrow {m^2} = 4$.

Khoảng cách từ $A$ đến trục hoành bằng $\left| {2m} \right| = 4$.

Trả lời: 4.