20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Vì $I \in Ox$ nên $I\left( {a;0} \right)$.

Lại có $R = IA = IB$ nên ${\left( {1 - a} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {3^2}$$\Leftrightarrow 8a = 32 \Rightarrow a = 4$.

Do đó đường tròn$\left( C \right)$ tâm $I\left( {4;0} \right)$ và $R = IA = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10}$ có phương trình là ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10$. Chọn B.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$.

Tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {3; - 4} \right)$ nhận $\overrightarrow {IA} = \left( {2; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - 2y - 14 = 0$ hay $x - y - 7 = 0$. Chọn D.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3; - 1} \right)$.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( { - 1;2} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( { - 4;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $- 4\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0$ hay $4x - 3y + 10 = 0$. Chọn B.

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;1} \right)$ vào phương trình đường tròn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy điểm $A\left( {1;1} \right)$ nằm trên đường tròn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10$. Chọn B.

Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 1;b = - 1;c = - 3$.

Mà ${a^2} + {b^2} - c > 0$ nên phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0$ là phương trình đường tròn. Chọn D.

Ta có $R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {52}$.

Phương trình đường tròn cần lập là ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52$. Chọn D.

a) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3; - 2} \right)$.

b) Đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R = 5$.

c) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)$.

d) Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A$ nhận $\overrightarrow {IA} = \left( {3;4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$3\left( {x - 6} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y - 26 = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là điểm $I\left( {0;1} \right),R = 3$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;0} \right)$ vào phương trình đường tròn ta thấy không thỏa mãn.

Do đó điểm $A\left( {1;0} \right)$ không nằm trên đường tròn.

c) $d\left( {I,Ox} \right) = 1$.

d) Ta có khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $y = 3$ là $\frac{{\left| {1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2 < R$.

Do đó đường thẳng $y = 3$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{3^2} + {2^2} - 9} = 2$.

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua $B$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ theo một dây cung có độ dài lớn nhất thì $\Delta$ phải đi qua tâm $I$.

Đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow {IB} = \left( { - 1; - 3} \right)$ là vectơ chỉ phương nên có $\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $3\left( {x - 3} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0$ hay $3x - y - 7 = 0$.

Suy ra $a = 3;c = - 7$. Do đó $a + c = - 4$.

c) Ta có $IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 4 > R$; $IB = \sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} > R$.

Do đó hai điểm $A,B$ đều nằm ngoài đường tròn.

d)

Gọi $N$ là giao điểm của $IA$ với đường tròn $\left( C \right)$.

Trên đoạn $IN$ lấy điểm $P$ sao cho $IP = \frac{1}{2}IN$$\Rightarrow \overrightarrow {IP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA}$$\Rightarrow P\left( {2;2} \right)$.

Có $\frac{{IM}}{{IP}} = 2;\frac{{IA}}{{IM}} = 2$.

Ta có $\Delta IAM$ đồng dạng $\Delta IMP$$\Rightarrow \frac{{IA}}{{IM}} = \frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{AM}}{{MP}} = 2 \Rightarrow 2MP = AM$.

Khi đó $P = MA + 2MB = 2MP + 2MB \ge 2PB = 6$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường thẳng $AB$ có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0$.

b) Đường tròn tâm $B$, bán kính $R = 2$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$.

c) Cho $y = 0$ thì $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ $\Rightarrow M\left( { - 1;0} \right)$.

Vậy điểm $M$ có hoành độ bằng $- 1$.

d) Gọi $I\left( {a;b} \right)$.

Theo đề có $IA = IB = IM$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( { - 1 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 6b = 0\\4a + 4b = 4\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = \frac{1}{4}\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{4}} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2;1} \right)$ và có bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - \left( { - 20} \right)} = 5$.

b) Thay tọa độ điểm $\left( {5;3} \right)$ vào phương trình đường tròn $\left( C \right)$ ta thấy không thỏa mãn.

Do đó đường tròn $\left( C \right)$ không đi qua điểm $\left( {5;3} \right)$.

c) Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {5; - 3} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$3\left( {x - 5} \right) - 4\left( {y + 3} \right) = 0$ hay $3x - 4y - 27 = 0$.

d) Ta có $d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 35} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5 = R$.

Vậy đường thẳng $\left( d \right):3x + 4y - 35 = 0$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Gọi $I\left( {a;b} \right)$ là tâm của đường tròn.

Theo đề ta có $IA = IB = IC$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 4 - b} \right)^2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3\\14b = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$ và $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}$.

Do đó $a = \frac{3}{2};b = - \frac{1}{2};c = \frac{{25}}{2}$. Vậy $a + b + c = 13{,}5$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Hạ $IH \bot AB$.

Suy ra $I,R = IH$ là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$.

$AC$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BD$ có phương trình là $4x - 3y - 6 = 0$.

Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 7 = 0\\4x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)$.

Ta có $AC = 2d\left( {A,BD} \right) = 2 \cdot \frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4$. Suy ra $AB = 2\sqrt 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2$.

Xét $\Delta AIH$ có $IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 2$.

Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có phương trình là ${\left( {x - \frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{2}{5}} \right)^2} = 2$.

Suy ra $a = \frac{9}{5};b = \frac{2}{5};{R^2} = 2$. Vậy $25ab{R^2} = 36$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2\cos t\\y = 4 + 2\sin t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\cos t\\y - 4 = 2\sin t\end{array} \right.$$\Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4$.

Vậy $a = 4$.

Hạ $IH \bot MN$.

Khi đó $MH = HN = \frac{{MN}}{2} = 4$; $IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3$.

Xét $\Delta IHN$ có $R = IN = \sqrt {I{H^2} + H{N^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Vậy đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính là 10.

Vì $I \in d$ nên $I\left( {6a + 10;a} \right)$.

Theo đề có $d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3\left( {6a + 10} \right) + 4a + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4\left( {6a + 10} \right) - 3a - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}$$\Leftrightarrow \left| {22a + 35} \right| = \left| {21a + 35} \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}22a + 35 = 21a + 35\\22a + 35 = - 21a - 35\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - \frac{{70}}{{43}}\end{array} \right.$. Suy ra $\left[ \begin{array}{l}I\left( {10;0} \right)\\I\left( {\frac{{10}}{{43}}; - \frac{{70}}{{43}}} \right)\end{array} \right.$.

Vì tâm đường tròn nằm trên trục $Ox$ nên $I\left( {10;0} \right)$

Do đó bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{35}}{5} = 7$.