20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 1; - 2} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ có phương trình là

$2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 5y + 12 = 0$. Chọn C.

Đường thẳng $d \bot \Delta$ nên $d$ nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)$ của đường thẳng $\Delta$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {5;3} \right)$.

Khi đó $d$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.$. Chọn B.

Đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right) = - 3\left( {1; - 2} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}}$.

Do đó $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương.

Lại có $\left( { - 1;0} \right)$ thuộc ${\Delta _1}$ nhưng không thuộc ${\Delta _2}$. Do đó ${\Delta _1}//{\Delta _2}$. Chọn D.

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$.

Đường thẳng ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{n_2}}$ nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.

Lại có $A\left( {1;3} \right)$ thuộc ${d_1}$ và thuộc ${d_2}$ nên hai đường thẳng này trùng nhau. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$. Chọn A.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.

Đường thẳng $d'$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$.

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$. Chọn A.

a) Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 12} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {0;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng ${d_2}$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng ${d_2}$ không đi qua điểm $A\left( {0;3} \right)$.

c) Đường thẳng $\Delta //{d_2}$ có dạng $x + 2y + c = 0$.

Mà $\Delta$ đi qua $I\left( {2;1} \right)$ nên $2 + 2 \cdot 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 4$.

Vậy $x + 2y - 4 = 0$.

d) $M \in {d_2}$ nên $M\left( {3 - 2b;b} \right)$.

Khi đó $I{M^2} = {\left( {1 - 2b} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 1$$\Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 1 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vì $b \ge 1$ nên $b = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)$. Khi đó $a + b = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;4} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$. Suy ra đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow n = \left( {4;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {4;3} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = 3 - 6t\end{array} \right.$.

d) $M\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)$ là trung điểm của $BC$.

Có $\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5; - 8} \right)$.

Do đó đường trung tuyến $AM$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 5; - 8} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\left( {1; - 1} \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt $Ox$ tại $C\left( {3;0} \right)$ và cắt $Oy$ tại $D\left( {0;3} \right)$.

Khi đó ${S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$.

d) Giả sử $\Delta$ cắt tia $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)$ với $a > 0,b > 0$.

Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Vì $\Delta$ đi qua $N$ nên $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:

$\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9$$\Rightarrow a + b \ge 9$ hay $OA + OB \ge 9$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $OA + OB$ bằng 9.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $d\left( {O,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\left( {3; - 4} \right)$ nên nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Lại có $\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 0$. Do đó ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

c) Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3x - 4y + 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {3 - 4t} \right) + 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\t = 0\end{array} \right.$.

Suy ra $M\left( {1;3} \right)$.

Giả sử $I\left( {a;b} \right)$.

Theo đề ta có $IO = IA = IM$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 1\\6b = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _1}$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {5; - 2} \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$.

b) Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $\left( { - 4;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0$.

c) Ta có $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$ và $\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 7} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_2}$.

Ta thấy $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {n'}$ không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + 5 \cdot \left( { - 7} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{29\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \varphi = 45^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Vì $P \in \Delta$ nên $P\left( {a;a + 2} \right)$. Ta có $\overrightarrow {PM} = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN} = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)$.

Do tam giác $MNP$ vuông tại $P$ nên $\overrightarrow {PM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0$$\Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0$$\Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Vì $a \in \mathbb{Z}$ nên $a = 1 \Rightarrow b = 3$.

Vậy $T = 2a + 3b = 11$.

Dễ thấy $A,B$ nằm khác phía với đường thẳng $d$.

Khi đó $AM + MB \ge AB$.

Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm $A,B,M$ thẳng hàng.

Suy ra $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương.

Ta có $M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)$, $\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)$.

Do $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương nên $\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}$$\Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3$$\Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)$.

Do đó $a + b = - 2$.

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ nên có dạng: $x + 3y + c = 0$.

Lại có $d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10}$ nên $\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10}$$\Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.$.

Vì $a;b;c \in \mathbb{N};a < 2$ nên $x + 3y + 11 = 0$.

Do đó $a = 1;b = 3;c = 11$. Vậy $T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50$.

Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 33 \cdot \left( { - 30} \right) + 25 \cdot \left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} \approx 0{,}00483 \Rightarrow \varphi \approx 89{,}7^\circ$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( { - 5;3} \right)$.

Ta có $d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 \cdot 3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }} \approx 1{,}67$.