20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2. Định lí côsin và định lí sin (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$.

Áp dụng định lý sin: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} \cdot \sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }} \cdot \sin 40^\circ \approx 3{,}3$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}$$= \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 9}} = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí sin: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính diện tích sai là $S = \frac{1}{2}ab\sin A$.

Đáp án đúng là: D

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$

${c^2} = {8^2} + {10^2} - 2 \cdot 8 \cdot 10\cos 60^\circ = 84 \Rightarrow c = 2\sqrt {21}$.

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{12}}{2} = 6$.

Diện tích của tam giác $ABC$ là: $S = pr = 6 \cdot 1 = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21$.

Vậy $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 84$ (công thức Heron).

Đáp án đúng là: C

Ta có $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{14}^2}}}{{2 \cdot 13 \cdot 15}} = \frac{{33}}{{65}}$.

Suy ra $\widehat B \approx 59^\circ 29'$.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lý sin trong tam giác: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Ta có $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{b \cdot \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{2 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \sqrt 6$.

Lời giải

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow {a^2} = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 109.$

Do đó, $a = \sqrt {109} \;{\rm{cm}}$.

b) Sai. Ta có ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109} \cdot 5}} \approx 0{,}81$.

c) Đúng. Tương tự, $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109} \cdot 7}} \approx 0{,}91$.

d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ nên $R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{\sqrt {109} }}{{2 \cdot \sin 120^\circ }} \approx 6{,}03\,\,({\rm{cm}})$.

Lời giải

Giả sử $a = 7,b = 9,c = 12$.

a) Đúng. Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14$.

b) Sai. Theo công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} = 14\sqrt 5$.

c) Sai. Ta có $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}$.

d) Sai. Ta có $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5$.

Lời giải

Đặt $a = BC = \sqrt 6 ,b = CA = 2,c = AB = 1 + \sqrt 3$.

a) Sai. $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = 60^\circ$.

b) Sai. $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \hat B = 45^\circ$.

c) Đúng. $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}$.

d) Đúng. $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \sqrt 2$.

Lời giải

a) Đúng. Ta có $A{C^2} = {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos B = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49$.

Suy ra $AC = b = 7$.

b) Sai. Ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{7^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 7 \cdot 5}} = \frac{1}{7} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 81^\circ 47' < 90^\circ$.

Vậy $\widehat {BAC}$ là góc nhọn.

c) Đúng. Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 10\sqrt 3$.

Mặt khác $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

d) Sai.

Công thức định lý sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{C}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Khi đó: $T = \sin A - 2\sin B + \sin C = \frac{a}{{2R}} - \frac{{2b}}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} = \frac{{a - 2b + c}}{{2R}} = \frac{{8 - 2 \cdot 7 + 5}}{{2R}} = - \frac{1}{{2R}} \ne 0$.

Lời giải

a) Đúng. Ta có ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (vì $\sin A > 0$).

b) Đúng. Ta có $S = \frac{1}{2}bc\sin A = 14$.

c) Sai. Theo định lí côsin, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2$.

d) Sai. Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = 6 + 2\sqrt 2$. Mà $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = 3 - \sqrt 2$.

Lời giải

Ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49$.

Suy ra $BC = 7$.

Ta có nửa chu vi của $\Delta ABC$ là: $p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10$.

Diện tích của $\Delta ABC$ là: $S = \sqrt {10.\left( {10 - 8} \right).\left( {10 - 5} \right).\left( {10 - 7} \right)} = 10\sqrt 3$.

Vì $S = \frac{1}{2}AH.BC$$\Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7} \approx 4{,}95$.

Đáp án: 4,95.

Lời giải

Ta có $\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}}$.

Theo định lý sin trong tam giác ta tính được $b = 8,c = 6$.

Chu vi tam giác là $a + b + c = 24$.

Đáp án: 24.

Lời giải

Ta có $a\left( {{a^2} - {c^2}} \right) = b\left( {{b^2} - {c^2}} \right) \Leftrightarrow {a^3} - {b^3} - {c^2}\left( {a - b} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - {c^2}\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} - {c^2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {a^2} + ab + {b^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - ab\,\,{\rm{ }}\left( {{\rm{v\`i }}a \ne b} \right)$

$\Rightarrow \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{ - ab}}{{2ab}} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{. }}$

Do đó $\widehat C = 120^\circ$.

Đáp án: 120.

Lời giải

Ta có $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{2 \cdot 12}}{{5 \cdot 8}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos A = \frac{4}{5}$.

Khi đó, áp dụng định lí cô sin trong tam giác $ABC$, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = {5^2} + {8^2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{4}{5} = 25 \Rightarrow BC = 5$.

Đáp án: 5.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$, ta có:

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = \frac{1}{8}$.

Mà $\widehat A < 180^\circ$ nên $\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - \frac{1}{{64}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{6}{{2 \cdot \frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} \approx 3\,\,\,{\rm{(cm)}}$.

Đáp án: 3.