20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được $2{x^2} + x + 3 = {x^2} + 2x + 5$

$\Rightarrow {x^2} - x - 2 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Thử lại, ta thấy cả hai giá trị trên đều lại nghiệm của phương trình đã cho.

Đối chiếu các phương án đã cho, ta có $x = 2$ là nghiệm của phương trình đã cho.

$\sqrt {{x^2} - 4x - 7} = \sqrt { - {x^2} + 6x - 7} \Rightarrow {x^2} - 4x - 7 = - {x^2} + 6x - 7 \Rightarrow 2{x^2} - 10x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.$.

Thử lại, ta thấy $x = 0,x = 5$ đều không thỏa nên phương trình vô nghiệm.

Ta có $\sqrt {3{x^2} - 4x - 1} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \Rightarrow {x^2} - 4 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.$.

Thử lại, ta thấy cả hai giá trị trên đều là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có $\sqrt {{x^2} - 2x - 4} = \sqrt {2 - x} \Rightarrow {x^2} - 2x - 4 = 2 - x \Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 2\end{array} \right.$.

Thử lại ta thấy chỉ có $x = - 2$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x - 4} = \sqrt {2 - x}$ là $S = \left\{ { - 2} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\ - {x^2} + 4x = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ - 5{x^2} + 12x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4 - 3{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 3}}{7}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có $x - \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy số nghiệm của phương trình là $1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\2{x^2} + 4x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x = - 1 \pm \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow x = - 1 + \sqrt 3$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {x^2} + x + 1 = x + 2 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Thử lại 2 nghiệm vào phương trình ban đầu, ta nhận cả 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

Lời giải

a) Đúng. Ta có ${x^2} + 2 > 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$.

b) Sai. Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được $5{x^2} - 8x + 2 = {x^2} + 2$.

Rút gọn ta được $4{x^2} - 8x = 0$.

c) Đúng. Giải phương trình nhận được ở ý b) ta được $x = 0,x = 2$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình (*).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0\,;2} \right\}$.

d) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0 + 2 = 2.

Lời giải

a) Đúng. Bình phương hai vế phương trình (*) ta được $2{x^2} + x - 6 = {\left( {x + 2} \right)^2}$.

Rút gọn phương trình trên ta được ${x^2} - 3x - 10 = 0$.

b) Sai. Điều kiện của phương trình (*) là $x + 2 \ge 0$, tức là $x \ge - 2$.

c) Đúng. Phương trình ${x^2} - 3x - 10 = 0$ có hai nghiệm $x = - 2,x = 5$. Ta thấy $x = - 2$ và $x = 5$ đều thoả mãn $x \ge - 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 2\,;5} \right\}$.

d) Sai. Ta có $\left( { - 2} \right) \cdot 5 = - 10$.

Lời giải

a) Đúng. Điều kiện của phương trình là $2 - x \ge 0$, tức là $x \le 2$.

b) Sai. Bình phương hai vế của phương trình (*), ta được: ${x^2} + 2x + 4 = 2 - x$.

Rút gọn phương trình trên ta được ${x^2} + 3x + 2 = 0$.

c) Đúng. Ta thấy phương trình ${x^2} + 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x = - 1$; $x = - 2$.

Thay giá trị $x = - 1$ vào phương trình (*): $\sqrt 3 = \sqrt 3$ (thỏa mãn).

Thay giá trị $x = - 2$ vào phương trình (*): $\sqrt 4 = \sqrt 4$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình (*) là $S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}$.

d) Đúng. Ta có $- 1 \in \mathbb{Z}; - 2 \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

a) Sai. Điều kiện của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 5 \ge 0\\{x^2} - x + 11 \ge 0\end{array} \right.$, điều này luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

b) Đúng. Bình phương hai vế phương trình (*), ta được: $2{x^2} + 5 = {x^2} - x + 11$.

Rút gọn ta được ${x^2} + x - 6 = 0$.

c) Sai. Phương trình ${x^2} + x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x = 2$; $x = - 3$.

Thay giá trị $x = 2$ vào phương trình (*): $\sqrt {13} = \sqrt {13}$ (thỏa mãn).

Thay giá trị $x = - 3$ vào phương trình (*): $\sqrt {23} = \sqrt {23}$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = \left\{ {2; - 3} \right\}$.

d) Sai. Với ${x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình (*), ta có ${x_1} = - 3;{x_2} = 2$.

Khi đó, ${x_1} - 2{x_2} = - 3 - 2 \cdot 2 = - 7$.

Lời giải

a) Đúng. Thay $x = 2$ vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn nên đây là là một nghiệm của phương trình.

b) Đúng. Ta có: $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2{x^2} + 4} = {x^2} - 4$

$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2{x^2} + 4} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {2{x^2} + 4} = x + 2}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2 \ge 0}\\{2{x^2} + 4 = {x^2} + 4x + 4}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 4x = 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 2}\\{x = 0 \vee x = 4}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.$.

Vậy tập nghiệm phương trình là: $S = \left\{ {0;2;4} \right\}$.

c) Sai. Ta có $0 + 2 + 4 = 6$.

d) Đúng. Các số 0, 2, 4 là các số chẵn.

Lời giải

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn $AD$ là $x\,\,\left( {0 < x < 30} \right)$ (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn $BD$ là $30 - x$ (giây). Do đó, quãng đường $AD$ và $BD$ lần lượt là $13x\,\,{\rm{(m)}}$ và $15\left( {30 - x} \right)\,\,{\rm{(m)}}$.

Độ dài quãng đường $BC$ là: $\sqrt {{{370}^2} - {{120}^2}} = 350\,\,{\rm{(m)}}$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD = \sqrt {{{\left( {13x} \right)}^2} - {{120}^2}} \,\,{\rm{(m)}}$.

Mặt khác, $CD = BC - BD = 350 - 15\left( {30 - x} \right)\,\,{\rm{(m)}}$.

Do đó, ta có: $\sqrt {{{\left( {13x} \right)}^2} - {{120}^2}} = 350 - 15\left( {30 - x} \right)$.

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện $0 < x < 30$, ta nhận $x = 10$ (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí $C$ và vị trí $D$ là: $350 - 15 \cdot \left( {30 - 10} \right) = 50\,\,{\rm{(m)}}$.

Đáp án: $50$.

Lời giải

Đặt $AB = x > 0$. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC = \sqrt {{x^2} + 4}$.

Theo tính chất định lí Thalès, ta có: $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{x} = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 16} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}5x \ge 0\\9\left( {{x^2} + 16} \right) = 25{x^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x \ge 0\\16{x^2} = 144\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3.} \right.} \right.$

Vậy hai vị trí $A,B$ cách nhau $3\;{\rm{m}}$.

Đáp án: $3\;$.

Lời giải

Ta có $\sqrt {{x^2} + 2x - m} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 1 \ge 0}\\{{x^2} + 2x - m = {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - 6x + 1 = - m\,\,(*)}\end{array}} \right.} \right.$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 1$ trên $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi $- 2 < - m \le - \frac{5}{4}$ $\Leftrightarrow \frac{5}{4} \le m < 2$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$, nên không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.

Đáp án: 0.

Lời giải

Ta có 1 giờ 14 phút $= \frac{{37}}{{30}}$ giờ. Gọi $AM = x\;\,{\rm{(km)}}\,\,\,\left( {x > 6} \right)$.

Suy ra thời gian đi từ $A$ đến $M$ là $\frac{x}{{10}}$ (giờ).

Khi đó $BM = \sqrt {{x^2} - 36}$ và $CM = 15 - \sqrt {{x^2} - 36}$.

Thời gian đi từ $M$ đến $C$ là $\frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}}$.

Theo giả thiết ta có phương trình: $\frac{x}{{10}} + \frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}$.

Giải phương trình ta được $x = 10\,\,{\rm{(km)}}$.

Do đó tổng quảng đường phải đi là $AM + MC = 10 + \left( {15 - \sqrt {{{10}^2} - 36} } \right) = 17\,\,{\rm{(km)}}$.

Đáp án: 17.

Lời giải

Đặt $AB = x$ (km) thì $BC = 5 - x$ (km) $\left( {0 < x < 5} \right)$.

Khi đó $BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4}$ (km).

Chi phí mắc dây điện từ $A$ đến $B$ là $3000x$ (USD).

Chi phí mắc dây điện từ $B$ đến $D$ là $5000\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4}$ (USD).

Tổng chi phí mắc dây điện từ $A$ đến $D$ là $3000x + 5000\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4}$ (USD).

Theo giả thiết, ta có $3000x + 5000\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} = 23000$$\Leftrightarrow 3x + 5\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} = 23$

$\Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} - 10x + 29} = 23 - 3x$ $\left( 1 \right)$.

Bình phương hai vế của $\left( 1 \right)$ ta được $25\left( {{x^2} - 10x + 29} \right) = {\left( {23 - 3x} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 16{x^2} - 112x + 196 = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$. Thử lại ta thấy $x = \frac{7}{2}$ thỏa mãn phương trình $\left( 1 \right)$.

Vậy điểm $B$ phải cách điểm $A$ một khoảng cách bằng $3{,}5$ (km).

Đáp án: 3,5.