Ngân hàng đề / … / Lớp 10 / Toán / Toán 10 – Cánh diều / Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng / Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nội dung đề
Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , khoảng cách từ điểm
M ( x 0 ; y 0 ) M\left( {{x_0};{y_0}} \right) M ( x 0 ; y 0 ) đến trục
O y Oy O y là
A
Đáp án A: d ( M , Δ ) = ∣ x 0 ∣ d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0}} \right| d ( M , Δ ) = ∣ x 0 ∣
B
Đáp án B: d ( M , Δ ) = ∣ y 0 ∣ d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{y_0}} \right| d ( M , Δ ) = ∣ y 0 ∣
C
Đáp án C: d ( M , Δ ) = y 0 d\left( {M,\Delta } \right) = {y_0} d ( M , Δ ) = y 0
D
Đáp án D: d ( M , Δ ) = x 0 d\left( {M,\Delta } \right) = {x_0} d ( M , Δ ) = x 0
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
d ( M , Δ ) = ∣ x 0 ∣ d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0}} \right| d ( M , Δ ) = ∣ x 0 ∣ .
Chọn A .
Khoảng cách từ điểm
A ( 1 ; 1 ) A\left( {1;1} \right) A ( 1 ; 1 ) đến đường thẳng
Δ : 5 x − 12 y − 6 = 0 \Delta :5x - 12y - 6 = 0 Δ : 5 x − 12 y − 6 = 0 là
A
Đáp án A: 13 13 13
B
Đáp án B: 1 13 \frac{1}{{13}} 13 1
C
Đáp án C: − 1 - 1 − 1
D
Đáp án D: 1 1 1
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: D
Ta có
d ( A , Δ ) = ∣ 5 ⋅ 1 − 12 ⋅ 1 − 6 ∣ 5 2 + ( − 12 ) 2 = 1 d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1 d ( A , Δ ) = 5 2 + ( − 12 ) 2 ∣ 5 ⋅ 1 − 12 ⋅ 1 − 6 ∣ = 1 .
Chọn D .
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho tam giác
A B C ABC A BC có
A ( 1 ; 2 ) , B ( 0 ; 3 ) , C ( 4 ; 0 ) A\left( {1;2} \right),B\left( {0;3} \right),C\left( {4;0} \right) A ( 1 ; 2 ) , B ( 0 ; 3 ) , C ( 4 ; 0 ) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh
A A A bằng
A
Đáp án A: 3 3 3
B
Đáp án B: 1 25 \frac{1}{{25}} 25 1
C
Đáp án C: 1 5 \frac{1}{5} 5 1
D
Đáp án D: 3 5 \frac{3}{5} 5 3
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: C
Phương trình đường thẳng B C BC BC x 4 + y 3 = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0 \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0 4 x + 3 y = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0
Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A A A d ( A , B C ) = ∣ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 − 12 ∣ 3 2 + 4 2 = 1 5 d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{5} d ( A , BC ) = 3 2 + 4 2 ∣ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 − 12 ∣ = 5 1 Chọn C .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
d 1 : { x = 1 − 3 t y = 3 + t {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right. d 1 : { x = 1 − 3 t y = 3 + t và
d 2 : x + 3 y − 10 = 0 {d_2}:x + 3y - 10 = 0 d 2 : x + 3 y − 10 = 0 .
A
Đáp án A: Vuông góc.
B
Đáp án B: Trùng nhau.
C
Đáp án C: Cắt nhau nhưng không vuông góc.
D
Đáp án D: Song song.
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Đường thẳng d 1 {d_1} d 1 u 1 → = ( − 3 ; 1 ) \overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right) u 1 = ( − 3 ; 1 ) n 1 → = ( 1 ; 3 ) \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right) n 1 = ( 1 ; 3 ) d 1 {d_1} d 1
Đường thẳng d 2 {d_2} d 2 n 2 → = ( 1 ; 3 ) \overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right) n 2 = ( 1 ; 3 )
Vì n 1 → \overrightarrow {{n_1}} n 1 n 2 → \overrightarrow {{n_2}} n 2
Lại có A ( 1 ; 3 ) A\left( {1;3} \right) A ( 1 ; 3 ) d 1 {d_1} d 1 d 2 {d_2} d 2 Chọn B .
Tính góc giữa hai đường thẳng
d 1 : 2 x − y − 3 = 0 {d_1}:2x - y - 3 = 0 d 1 : 2 x − y − 3 = 0 và
d 2 : 3 x + y + 2 = 0 {d_2}:3x + y + 2 = 0 d 2 : 3 x + y + 2 = 0 .
A
Đáp án A: 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
B
Đáp án B: 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
C
Đáp án C: 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
D
Đáp án D: 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
Ta có n 1 → = ( 2 ; − 1 ) , n 2 → = ( 3 ; 1 ) \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right) n 1 = ( 2 ; − 1 ) , n 2 = ( 3 ; 1 ) d 1 , d 2 {d_1},{d_2} d 1 , d 2
Gọi φ \varphi φ d 1 , d 2 {d_1},{d_2} d 1 , d 2
Khi đó cos φ = ∣ n 1 → ⋅ n 2 → ∣ ∣ n 1 → ∣ ⋅ ∣ n 2 → ∣ = ∣ 2 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 1 ∣ 2 2 + ( − 1 ) 2 ⋅ 3 2 + 1 2 = 2 2 ⇒ φ = 45 ∘ \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ cos φ = ∣ n 1 ∣ ⋅ ∣ n 2 ∣ ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ = 2 2 + ( − 1 ) 2 ⋅ 3 2 + 1 2 ∣ 2 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 1 ∣ = 2 2 ⇒ φ = 4 5 ∘ Chọn A .
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Ta có n 1 → = ( 2 ; − 1 ) , n 2 → = ( 3 ; 1 ) \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right) n 1 = ( 2 ; − 1 ) , n 2 = ( 3 ; 1 ) d 1 , d 2 {d_1},{d_2} d 1 , d 2
Gọi φ \varphi φ d 1 , d 2 {d_1},{d_2} d 1 , d 2
Khi đó cos φ = ∣ n 1 → ⋅ n 2 → ∣ ∣ n 1 → ∣ ⋅ ∣ n 2 → ∣ = ∣ 2 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 1 ∣ 2 2 + ( − 1 ) 2 ⋅ 3 2 + 1 2 = 2 2 ⇒ φ = 45 ∘ \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ cos φ = ∣ n 1 ∣ ⋅ ∣ n 2 ∣ ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ = 2 2 + ( − 1 ) 2 ⋅ 3 2 + 1 2 ∣ 2 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 1 ∣ = 2 2 ⇒ φ = 4 5 ∘ Chọn A .
Gọi
α \alpha α là góc giữa hai đường thẳng
d 1 : 4 x − 2 y + 1 = 0 {d_1}:4x - 2y + 1 = 0 d 1 : 4 x − 2 y + 1 = 0 và
d 2 : x − 2 y − 2 = 0 {d_2}:x - 2y - 2 = 0 d 2 : x − 2 y − 2 = 0 . Tính
cos α \cos \alpha cos α .
A
Đáp án A: cos α = 2 5 \cos \alpha = \frac{2}{5} cos α = 5 2
B
Đáp án B: cos α = 4 5 \cos \alpha = \frac{4}{5} cos α = 5 4
C
Đáp án C: cos α = 1 \cos \alpha = 1 cos α = 1
D
Đáp án D: cos α = 3 5 \cos \alpha = \frac{3}{5} cos α = 5 3
Cosin của góc giữa hai đường thẳng
d : { x = 2 + t y = − t + 1 d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t + 1\end{array} \right. d : { x = 2 + t y = − t + 1 và
d ′ : x + 2 y − 1 = 0 d':x + 2y - 1 = 0 d ′ : x + 2 y − 1 = 0 là
A
Đáp án A: 3 10 10 \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} 10 3 10
B
Đáp án B: − 3 10 10 \frac{{ - 3\sqrt {10} }}{{10}} 10 − 3 10
C
Đáp án C: − 10 10 \frac{{ - \sqrt {10} }}{{10}} 10 − 10
D
Đáp án D: 10 10 \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} 10 10
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
Δ 1 : x − 2 y + 1 = 0 {\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0 Δ 1 : x − 2 y + 1 = 0 và
Δ 2 : − 3 x + 6 y − 10 = 0 {\Delta _2}: - 3x + 6y - 10 = 0 Δ 2 : − 3 x + 6 y − 10 = 0 .
A
Đáp án A: Vuông góc.
B
Đáp án B: Trùng nhau.
C
Đáp án C: Cắt nhau nhưng không vuông góc.
D
Đáp án D: Song song.
Đường thẳng
Δ : 3 x − 2 y − 7 = 0 \Delta :3x - 2y - 7 = 0 Δ : 3 x − 2 y − 7 = 0 cắt đường thẳng nào dưới đây?
A
Đáp án A: d 3 : − 3 x + 2 y − 7 = 0 {d_3}: - 3x + 2y - 7 = 0 d 3 : − 3 x + 2 y − 7 = 0
B
Đáp án B: d 4 : 6 x − 4 y − 14 = 0 {d_4}:6x - 4y - 14 = 0 d 4 : 6 x − 4 y − 14 = 0
C
Đáp án C: d 1 : 3 x − 2 y = 0 {d}_{1}:3x-2y=0 d 1 : 3 x − 2 y = 0
D
Đáp án D: d 2 : 3 x − 2 y = 0 {d_2}:3x - 2y = 0 d 2 : 3 x − 2 y = 0
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
d 1 : 4 x − 3 y − 1 = 0 {d_1}:4x - 3y - 1 = 0 d 1 : 4 x − 3 y − 1 = 0 và
d 2 : 3 x + 4 y − 10 = 0 {d_2}:3x + 4y - 10 = 0 d 2 : 3 x + 4 y − 10 = 0 .
A
Đáp án A: Vuông góc.
B
Đáp án B: Trùng nhau.
C
Đáp án C: Cắt nhau nhưng không vuông góc.
D
Đáp án D: Song song.
Phần II. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho hai điểm
A ( 1 ; 1 ) , B ( 4 ; 2 ) A\left( {1;1} \right),B\left( {4;2} \right) A ( 1 ; 1 ) , B ( 4 ; 2 ) và đường thẳng
d d d có phương trình:
3 x − 4 y + 2 = 0 3x - 4y + 2 = 0 3 x − 4 y + 2 = 0 .
a
Ý a: Đường thẳng d d d n → = ( 3 ; 4 ) \overrightarrow n = \left( {3;4} \right) n = ( 3 ; 4 )
b
Ý b: Đường thẳng A B AB A B A B → = ( 3 ; 1 ) \overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right) A B = ( 3 ; 1 )
c
Ý c: Điểm A ( 1 ; 1 ) A\left( {1;1} \right) A ( 1 ; 1 ) d : 3 x − 4 y + 2 = 0 d:3x - 4y + 2 = 0 d : 3 x − 4 y + 2 = 0
d
Ý d: Khoảng cách từ điểm A ( 1 ; 1 ) A\left( {1;1} \right) A ( 1 ; 1 ) d d d 1 5 \frac{1}{5} 5 1
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho hai đường thẳng
Δ 1 : 2 x + y − 1 = 0 {\Delta _1}:2x + y - 1 = 0 Δ 1 : 2 x + y − 1 = 0 ,
Δ 2 : { x = 2 + t y = 1 − t {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right. Δ 2 : { x = 2 + t y = 1 − t và điểm
N ( 1 ; 4 ) N\left( {1;4} \right) N ( 1 ; 4 ) .
a
Ý a: Khoảng cách từ điểm N N N Δ 1 {\Delta _1} Δ 1 4 5 \frac{4}{{\sqrt 5 }} 5 4
b
Ý b: Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng Δ 1 {\Delta _1} Δ 1 Δ 2 {\Delta _2} Δ 2 3 10 \frac{3}{{\sqrt {10} }} 10 3
c
Ý c: Đường thẳng Δ 2 {\Delta _2} Δ 2 9 2 \frac{9}{2} 2 9
d
Ý d: Đường thẳng Δ \Delta Δ N N N O x , O y Ox,Oy O x , O y A , B A,B A , B O A + O B OA + OB O A + OB
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho ba đường thẳng
Δ 1 : 2 x − 5 y + 1 = 0 {\Delta _1}:2x - 5y + 1 = 0 Δ 1 : 2 x − 5 y + 1 = 0 ,
Δ 2 : x + 3 y − 5 = 0 {\Delta _2}:x + 3y - 5 = 0 Δ 2 : x + 3 y − 5 = 0 và
Δ 3 : { x = 2 + 2 t y = 3 t {\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\end{array} \right. Δ 3 : { x = 2 + 2 t y = 3 t .
a
Ý a: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ 3 {\Delta _3} Δ 3 u 3 → = ( 2 ; 2 ) \overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;2} \right) u 3 = ( 2 ; 2 )
b
Ý b: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ 1 {\Delta _1} Δ 1 ( 2 ; 5 ) \left( {2;5} \right) ( 2 ; 5 )
c
Ý c: Hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2 {\Delta _1},{\Delta _2} Δ 1 , Δ 2
d
Ý d: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2 {\Delta _1},{\Delta _2} Δ 1 , Δ 2 ( − 2 ; − 1 ) \left( { - 2; - 1} \right) ( − 2 ; − 1 )
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho hai đường thẳng
Δ 1 : { x = 1 + 3 t y = 3 − 4 t {\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\end{array} \right. Δ 1 : { x = 1 + 3 t y = 3 − 4 t và
Δ 2 : 3 x − 4 y + 9 = 0 {\Delta _2}:3x - 4y + 9 = 0 Δ 2 : 3 x − 4 y + 9 = 0 .
a
Ý a: Khoảng cách từ điểm O ( 0 ; 0 ) O\left( {0;0} \right) O ( 0 ; 0 ) Δ 2 {\Delta _2} Δ 2
b
Ý b: Hai đường thẳng Δ 1 {\Delta _1} Δ 1 Δ 2 {\Delta _2} Δ 2
c
Ý c: Một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O ( 0 ; 0 ) , A ( 1 ; 0 ) O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right) O ( 0 ; 0 ) , A ( 1 ; 0 ) M = Δ 1 ∩ Δ 2 M = {\Delta _1} \cap {\Delta _2} M = Δ 1 ∩ Δ 2 I ( 1 2 ; − 3 2 ) I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right) I ( 2 1 ; − 2 3 )
d
Ý d: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ 1 {\Delta _1} Δ 1 u 1 → = ( 3 ; − 4 ) \overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right) u 1 = ( 3 ; − 4 )
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho hai đường thẳng
d 1 : { x = − 4 + 5 t y = 2 − 2 t {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 5t\\y = 2 - 2t\end{array} \right. d 1 : { x = − 4 + 5 t y = 2 − 2 t và
d 2 : 3 x − 7 y − 3 = 0 {d_2}:3x - 7y - 3 = 0 d 2 : 3 x − 7 y − 3 = 0 .
a
Ý a: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d 1 {d_1} d 1 n → = ( 2 ; − 5 ) \overrightarrow n = \left( {2; - 5} \right) n = ( 2 ; − 5 )
b
Ý b: Phương trình tổng quát của đường thẳng d 1 {d_1} d 1 2 x − 5 y − 2 = 0 2x - 5y - 2 = 0 2 x − 5 y − 2 = 0
c
Ý c: d 1 {d_1} d 1 d 2 {d_2} d 2
d
Ý d: Góc giữa hai đường thẳng bằng 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mặt phẳng
O x y Oxy O x y , góc giữa hai đường thẳng
Δ : x − 3 y + 2 = 0 \Delta :x - \sqrt 3 y + 2 = 0 Δ : x − 3 y + 2 = 0 và
Δ ′ : x + 3 y − 1 = 0 \Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0 Δ ′ : x + 3 y − 1 = 0 là bao nhiêu độ?
Cho đường thẳng
d : 3 x + 4 y − 1 = 0 d:3x + 4y - 1 = 0 d : 3 x + 4 y − 1 = 0 . Đường thẳng
Δ : 3 x + b y + c = 0 ( c > − 5 ) \Delta :3x + by + c = 0\left( {c > - 5} \right) Δ : 3 x + b y + c = 0 ( c > − 5 ) song song với
d d d và cách
A ( 1 ; 1 ) A\left( {1;1} \right) A ( 1 ; 1 ) một khoảng bằng 1. Tính
b + c b + c b + c .
Có hai con tàu
A , B A,B A , B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y với đơn vị trên các trục tính bằng km), tại thời điểm
t t t (giờ), vị trí của tàu
A A A có tọa độ được xác định bởi công thức
{ x = 3 − 33 t y = − 4 + 25 t \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right. { x = 3 − 33 t y = − 4 + 25 t , vị trí tàu
B B B có tọa độ là
( 4 − 30 t ; 3 − 40 t ) \left( {4 - 30t;3 - 40t} \right) ( 4 − 30 t ; 3 − 40 t ) . Tính góc giữa hai đường đi của hai tàu
A , B A,B A , B (đơn vị độ, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Cho tam giác
A B C ABC A BC có phương trình đường thẳng chứa các cạnh
A B , A C , B C AB,AC,BC A B , A C , BC lần lượt là
x + 2 y − 1 = 0 ; x + y + 2 = 0 ; 2 x + 3 y − 5 = 0 x + 2y - 1 = 0;x + y + 2 = 0;2x + 3y - 5 = 0 x + 2 y − 1 = 0 ; x + y + 2 = 0 ; 2 x + 3 y − 5 = 0 . Tính khoảng cách từ
A A A đến đường thẳng
B C BC BC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trong mặt phẳng tọa độ
O x y Oxy O x y , cho đường thẳng
Δ : a x + b y + c = 0 ( a ; b ; c ∈ N ; a < 2 ) \Delta :ax + by + c = 0\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a < 2} \right) Δ : a x + b y + c = 0 ( a ; b ; c ∈ N ; a < 2 ) vuông góc với đường thẳng
d : 3 x − y + 4 = 0 d:3x - y + 4 = 0 d : 3 x − y + 4 = 0 và
Δ \Delta Δ cách
A ( 3 ; 2 ) A\left( {3;2} \right) A ( 3 ; 2 ) một khoảng
2 10 2\sqrt {10} 2 10 . Tính giá trị biểu thức
T = 3 a + b + 4 c . T = 3a + b + 4c. T = 3 a + b + 4 c .
Tất cả đề Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng · Các bộ sách Toán Lớp 10