20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Số cách xếp sao cho $A$ và $F$ ngồi ở hai đầu ghế là $2!$ cách.

4 người còn lại có $4!$ cách.

Vậy có tất cả $2! \cdot 4! = 48$ cách. Chọn A.

Số cách xếp 4 bạn học sinh $A,B,C,D$ vào 4 chiếc ghế ngồi theo hàng ngang (mỗi người ngồi một ghế) là

$4! = 24$. Chọn D.

Nhóm 7 bạn nam thành 1 nhóm và 3 bạn nữ thành 1 nhóm. Suy ra có 2 cách xếp 2 nhóm.

Trong nhóm 7 bạn nam có $7!$ cách xếp, trong nhóm 3 bạn nữ có $3!$ cách xếp.

Vậy có $2 \cdot 7! \cdot 3! = 60480$ cách xếp 10 bạn trên thành một hàng dọc sao cho các bạn cùng giới thì đứng cạnh nhau. Chọn B.

a) Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.

b) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có $10!$ cách.

c) Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

d) Xếp 5 học sinh lớp 10C trước ta có $5!$ cách.

Ở giữa 5 học sinh có tất cả 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại

C1

C2

C3

C4

C5

Sắp 5 học sinh còn lại vào 6 vị trí trống, ta xếp 3 học sinh lớp 10B, sau đó sẽ sắp 2 học sinh lớp 10A.

Không thể sắp đồng thời 2 học sinh lớp 10B vào 2 vị trí hai đầu vì khi đó chắc chắn sẽ có ít nhất 2 học sinh lớp 10C đứng cạnh nhau. Vậy, có 2 trường hợp thỏa mãn.

TH1: Xếp 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa có $A_4^3$ cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn 1 trong 2 học sinh lớp 10A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để 2 học sinh lớp 10C không đứng cạnh nhau), có 2 cách.

Học sinh lớp 10A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.

Vậy trong trường hợp này có $A_4^3 \cdot 2 \cdot 8 = 384$ cách.

TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại vào hai đầu, có $C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2$ cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp hai học sinh lớp 10A vào vị trí đó, có 2 cách.

Vậy trong trường hợp này ta có $C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2 \cdot 2 = 144$ cách.

Vậy có $5! \cdot \left( {384 + 144} \right) = 63360$ cách.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$.

Có 4 cách chọn $a$, có 4 cách chọn $b$.

Do đó lập được $4 \cdot 4 = 16$ số.

b) Gọi số cần tìm là $\overline {abc}$.

Có 4 cách chọn $a$, có 5 cách chọn $b$, 5 cách chọn $c$.

Do đó lập được $4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$ số.

c) Gọi số cần tìm là $\overline {abc}$.

Vì số cần lập là số lẻ nên $c \in \left\{ {1;3} \right\}$. Có 2 cách chọn $c$.

Có 4 cách chọn $a$ và 5 cách chọn $b$.

Do đó $4 \cdot 5 \cdot 2 = 40$ số.

d) Gọi số cần tìm là $\overline {abc}$.

TH1: $c = 0$.

Khi đó các số còn lại có $A_4^2 = 12$ cách chọn. Do đó có $12$ số được lập trong trường hợp này.

TH2: $c \ne 0$. Có 2 cách chọn $c$, có 3 cách chọn $a$, có 3 cách chọn $b$.

Do đó có $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ số trong trường hợp này.

Do đó có $12 + 18 = 30$ số.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Xếp nhóm 7 học sinh thành một hàng ngang có $7!$ cách.

b) Có $4 \cdot 3 = 12$ cách chọn ra một cặp nam nữ để đi hát song ca.

c) Có $A_7^3$ cách chọn 3 học sinh để tham gia trực nhật, trong đó có 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.

d) Coi 3 nữ là 1 nhóm.

Khi có cách xếp 4 học sinh nam và nhóm nữ có $5!$ cách.

Số cách xếp 3 nữ trong một nhóm là $3!$ cách.

Do đó có $5! \cdot 3! = 720$ cách.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Gọi số cần lập $\overline {abcde}$.

Có 9 cách chọn $a$.

4 chữ số còn lại có $A_9^4$ cách chọn.

Do đó có $9 \cdot A_9^4 = 27216$ số có 5 chữ số đôi một khách nhau.

b) Gọi số cần lập $\overline {abcde}$.

Vì số cần lập là số lẻ nên $e \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$. Suy ra có $5$ cách chọn e.

Có 8 cách chọn $a$.

Các số còn lại có $A_8^3 = 336$ cách.

Do đó ta có $5 \cdot 8 \cdot 336 = 13440$ cách.

c) Số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 có dạng $\overline {abcd0}$.

Khi đó có $A_9^4$ cách chọn cho các số $a,b,c,d$.

Vậy có $A_9^4 = 3024$ số.

d) Gọi số cần lập có dạng $\overline {abcde}$.

TH1: $a = 5;b = 9$. Có $A_8^3 = 336$ số trong trường hợp này.

TH2: $a > 5$. Khi đó $a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}$. Có 4 cách chọn $a$.

Các số còn lại có $A_9^4 = 3024$ cách chọn.

Trường hợp này có $4 \cdot A_9^4 = 12096$ cách chọn.

Vậy có tất cả $336 + 12096 = 12432$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Có $15!$ cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc.

b) Coi 7 nhóm học sinh nam là 1 nhóm. Khi đó có $7!$ cách xếp 7 học sinh nam trong nhóm.

Xếp nhóm 7 học sinh nam và 8 học sinh nữ có $9!$ cách.

Do đó có $7!9!$ cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng cạnh nhau.

c) Xét trường hợp Minh và Hạnh đứng cạnh nhau.

Xem 2 học sinh này là một nhóm. Có $2!$ cách xếp trong nhóm.

Xếp nhóm 2 học sinh này với 13 học sinh còn lại có $14!$ cách.

Do đó có $2! \cdot 14!$ cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho Minh và Hạnh đứng cạnh nhau.

d) Có $15! - 2! \cdot 14!$ cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho Minh và Hạnh không đứng cạnh nhau.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Vì số 1 xuất hiện 3 lần nên ta coi số cần lập có 8 chữ số từ các chữ số $0;1;1;1;2;3;4;5$.

Khi đó ta có $8!$ số (kể cả số 0 đứng đầu). Tuy nhiên khi hoán vị ba số 1 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả $\frac{{8!}}{{3!}}$.

Xét trường hợp chữ số đầu tiên là số 0. Tương tự ta lập được $\frac{{7!}}{{3!}}$.

Vậy có tất cả $\frac{{8!}}{{3!}} - \frac{{7!}}{{3!}} = 5880$ số thỏa mãn.

Trả lời: 5880.

Số tự nhiên chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 2 hoặc 4 hoặc 6.

Do đó có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Các số còn lại có $A_6^5$ cách chọn.

Do đó có $3 \cdot A_6^5 = 2160$ số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 2 lập được từ các chữ số trên.

Trả lời: 2160.

Ta xếp 3 hành khách nữ vào 3 chiếc ghế trong 5 chiếc ghế cạnh cửa sổ có $A_5^3 = 60$ cách xếp.

Tiếp theo xếp chỗ cho 2 hành khách nam trong 7 ghế còn lại có $A_7^2 = 42$ cách.

Vậy có tất cả $60 \cdot 42 = 2520$ cách.

Trả lời: 2520.

Mỗi cặp vợ và chồng xem như một vị trí sắp xếp.

Ta có $5!$ cách xếp cho 5 cặp vợ chồng sao cho vợ và chồng của mỗi gia đình đều ngồi cạnh nhau.

Trong mỗi cặp vợ và chồng có 2 cách hoán đổi vị trí cho nhau.

Vậy $5! \cdot {2^5} = 3840$.

Trả lời: 3840.

Có $A_{18}^2 = 306$ vectơ có điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó.

Trả lời: 306.