20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $BD$.

Do đó $O\left( { - 1;4} \right)$. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot 1 = 4$. Chọn A.

Vì $G$là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left( {1;2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AG} = \left( { - 1; - 1} \right)$. Chọn A.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {3 - x;5 - y} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {1 - x;1 - y} \right)$.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - \left( {1 - x} \right)\\5 - y = - \left( {1 - y} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.$.

Tung độ của điểm $M$ bằng 3. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2} \right)$.

Khi đó $3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 8} \right)$.

Gọi $E\left( {x;y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AE} = \left( {x - 2;y - 5} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 5\\y - 5 = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 3; - 3} \right)$. Chọn C.

Gọi $A\left( {a;0} \right) \in Ox,B\left( {0;b} \right) \in Oy$.

Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 8\end{array} \right.$. Suy ra $A\left( {6;0} \right),B\left( {0;8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 6;8} \right)$.

Do đó $AB = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2}} = 10$. Chọn A.

Gọi $M\left( {a;0} \right) \in Ox$. Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 2; - 1} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {5 - a;2} \right)$.

Có $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$$\Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {5 - a} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2 = 0$$\Leftrightarrow - {a^2} + 7a - 12 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 3\end{array} \right.$.

Do đó $M\left( {4;0} \right),M\left( {3;0} \right)$.

Vậy có 2 điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu. Chọn C.

a) $\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \Rightarrow A\left( {4;1} \right)$.

b) $\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)$.

c) $BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 6$.

d) Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$.

Do $AB \ne BC$ nên tam giác $ABC$ không cân tại $B$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 6} \right)$.

Do không tồn tại $k \in \mathbb{R}$ để $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$. Vì vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

b) $M$ là trung điểm của đoạn $BC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_M} = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;1} \right)$.

c) $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 2 + 4 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{3 + 5 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)$.

d) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 6} \right)$.

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{6 \cdot 4 + 2 \cdot \left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{12}}{{4\sqrt {130} }}$$\Rightarrow \widehat {BAC} \approx 74{,}7^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;6} \right)$.

b) Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + 3}}{2} = 0\\y = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;0} \right)$.

c) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {6;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;6} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6 \cdot 5 + 0 \cdot 6 = 30$.

d) Có $\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x - 3;y} \right)$

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {x + 3} \right) + 6y = 0\\5\left( {x - 3} \right) + 6y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 6y = 3\\5x + 6y = 15\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{5}{6}\end{array} \right.$.

Do đó $x + y = \frac{{17}}{6}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left( {\frac{{1 + 1 + 4}}{3};\frac{{3 + 6 + 3}}{3}} \right)$ hay $G\left( {2;4} \right)$.

b) Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {1;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 3 = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0} \right)$.

Có $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3$. Do đó $ABDC$ là hình thoi (1).

Lại có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0$$\Rightarrow AB \bot AC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $ABDC$ là hình vuông.

d) $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {6;12} \right) = 3\left( {2;4} \right) = 3\overrightarrow {BA}$.

Do đó vectơ $\overrightarrow {BA}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {BC}$.

c) Có $\overrightarrow {AC} = \left( {4;8} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 6; - 12} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 120$.

d) Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {OD} = \left( {x;y} \right),\overrightarrow {DB} = \left( {2 - x; - 3 - y} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {8 - x;9 - y} \right)$.

Suy ra

$30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \left( {30x + 19\left( {2 - x} \right) - 3\left( {8 - x} \right);30y + 19\left( { - 3 - y} \right) - 3\left( {9 - y} \right)} \right) = \left( {14x + 14;14y - 84} \right)$.

Mà $30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}14x + 14 = 0\\14y - 84 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 6\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)$.

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right);\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9} \right)$.

Có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}}$$= \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {10; - 5} \right),\overrightarrow {BE} = \left( {a - 7;a - b + 1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BE} = 2025$ nên $10\left( {a - 7} \right) - 5\left( {a - b + 1} \right) = 2025$$\Rightarrow 5a + 5b = 2025 + 75$$\Rightarrow a + b = 420$.

Ta có ${S_{ABCD}} = 3{S_{ABD}} \Rightarrow {S_{BDC}} = 2{S_{ABD}}$$\Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = 2$.

Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right)$.

Lại có $ABCD$ là hình thang nên $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) = - 7\\2\left( {y + 1} \right) = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow x - y = - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = 1$.

Có $\overrightarrow {NA} = \left( {1 - x;3 - y} \right);\overrightarrow {BN} = \left( {x - 2;y + 4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {BN}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 3\left( {x - 2} \right)\\3 - y = - 3\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{{15}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow x - y = \frac{5}{2} - \left( { - \frac{{15}}{2}} \right) = 10$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$$\Rightarrow \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}$.

Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {EA} = \left( {a - 8;b - 3} \right),\overrightarrow {EC} = \left( { - 4;4} \right)$.

Lại có $\overrightarrow {EA} ,\overrightarrow {EC}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {EA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {EC}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 8 = 2\\b - 3 = - 2\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( {10;1} \right)$.

Suy ra $T = {10^2} + {1^2} = 101$.

Do $B$ là trọng tâm của tam giác $ACD$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)$.

Vậy $a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20$.