2 bài tập Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số (có lời giải)

1. Với $m = - 3$ ta có phương trình ${x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 8.}\end{array}} \right.$

2. Phương trình (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi

${\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0$$\Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0$$\Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge 0$ đúng với mọi m.

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo hệ thức Viète ta có $\{\begin{matrix}{x}_{1}+{x}_{2}=2(m-1)(1) \\ {x}_{1}{x}_{2}=-m-3.\text{(2)}\end{matrix}$
Từ (2) ta có $m = - {x_1}{x_2} - 3$ thế vào $\left( 1 \right)$ ta có

${x_1} + {x_2} = 2\left( { - {x_1}{x_2} - 3 - 1} \right) = - 2{x_1}{x_2} - 8 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} + 8 = 0.$Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc $m$.

Phương trình có nghiệm$\Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = {(m - 1)^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = - 2m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1$.

Áp dụng hệ thức Viète ta có : $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{S = 2(m - 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{P = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ $(1)$ suy ra $m = \frac{{S + 2}}{2}$ thay vào $(2)$ thì được :$P = {\left( {\frac{{S + 2}}{2}} \right)^2} - 1 \Leftrightarrow 4P = {S^2} + 4S$.

Vậy hệ thức cần tìm là : ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4{x_1}{x_2}$.