2 bài tập Đường tròn liên quan đến tiếp tuyến, vuông góc, song song (có lời giải)

a) Chứng minh tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

+) Tứ giác $AHKM$ có: $\widehat {AHM} = 90^\circ$ (vì $KH \bot AB$)

và $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat {AMK} = 90^\circ$ (kề bù với $\widehat {AMB}$)

Suy ra tứ giác $AHKM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AK$.

b) Chứng minh rằng: $NB\;.\;HK = AN\;.\;HB$.

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta KHB$ có:

+) $\widehat {ANB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat {ANB} = \widehat {KHB} = 90^\circ$;

+) Đường kính $AB \bot MN \Rightarrow A$ là điểm chính giữa (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);

Suy ra

$\Rightarrow \frac{{AN}}{{NB}} = \frac{{KH}}{{HB}}$

$\Rightarrow NB\;.\;HK = AN\;.\;HB$.

c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

+) Ta có $HM$ giao với đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$, ta phải chứng minh $HM \bot OM$. Thật vậy:

Tứ giác $AHKM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat {HMK} = \widehat {HAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn );

$\widehat {HAK} = \widehat {NAB}$ (hai góc đối đỉnh);

$\widehat {NAB} = \widehat {MAB}$ ($AB \bot MN \Rightarrow B$ là điểm chính giữa , hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);

$\widehat {MAB} = \widehat {OMA}$ ($\Delta OAM$ cân tại $O$);

$\Rightarrow \widehat {HMK} = \widehat {OMA}\left( { = \widehat {HAK} = \widehat {NAB} = \widehat {MAB}} \right) \Rightarrow$ $\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {OMA} + \widehat {HMA}$;

Mà $\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {AMK} = 90^\circ$ (kề bù với $\widehat {AMB} = 90^\circ$, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

$\Rightarrow \widehat {OMA} + \widehat {HMA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HMO} = 90^\circ \Rightarrow HM \bot OM$ tại $M \in \left( O \right)$

$\Rightarrow HM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$.

a) Chứng minh tứ giác CDEF và $\widehat {DFE} = \widehat {DAB}$.

Xét tứ giác CDEF có:

+) $\widehat {DEC} = {90^0}$ ( DE vuông góc với BC tại E)

+) $\widehat {DFC} = {90^0}$ ( DF vuông góc với AC tại F)

$\Rightarrow$Tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn đường kính DC (2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh DC dưới 1 góc vuông)

$\Rightarrow$

Mà trong đường tròn (O).

Do đó: $\widehat {DFE} = \widehat {DAB}$ .

b) Chứng minh tứ giác DKBE nội tiếp và DB.DF = DA. DE.

Ta có: $\widehat {KED} = \widehat {DCF}$ (góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác CDEF nội tiếp)

$\widehat {DCF} = \widehat {DCA} = \widehat {KBD}$( góc ngoài bằng góc đối trong đối với tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O)).

Do đó: $\widehat {KBD} = \widehat {KED} = \widehat {DCA}$ không đổi.

Suy ra tứ giác DKBE nội tiếp (2 đỉnh B, E cùng phía đối với cạnh KD và cùng nhìn cạnh KD dưới 1 góc không đổi)

Ta có:

Và trong đường tròn (O)

Suy ra $\widehat {BDA} = \widehat {EDF}$.

Xét $\Delta$DBA và $\Delta$DEF có:

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DFE}$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {BDA} = \widehat {EDF}$ (chứng minh trên)

$\Delta$DBA $\Delta$DEF (góc - góc)

$\Rightarrow$$\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DA}}{{DF}} = \frac{{BA}}{{EF}}$ (*)

$\Rightarrow$DB.DF = DA.DE (điều phải chứng minh)

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh IJ vuông góc với DJ.

Từ (*) và I, J lần lượt là trung điểm của AB, EF nên ta có:

$$\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{BA}}{{EF}} = \frac{{2IB}}{{2JE}} = \frac{{IB}}{{JE}}$$

Xét $\Delta$DBI và $\Delta$DEJ ta có:

+)$\widehat {DBI} = \widehat {DEJ}$ ($\Delta$DBA $\Delta$DEF chứng minh trên)

+) $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{IB}}{{JE}}$ ( chứng minh trên)

$\Rightarrow$$\Delta$DBI $\Delta$DEJ (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow$$\widehat {DIB} = \widehat {DJE}$$\Rightarrow$$\widehat {KID} = \widehat {KJD}$ = góc không đổi.

$\Rightarrow$Tứ giác IKDJ nội tiếp (2 đỉnh I, J cùng phía với cạnh KD và cùng nhìn cạnh KD dưới 1 góc không đổi)

$\Rightarrow$$\widehat {IKD} + \widehat {IJD} = {180^0}$.

Mà tứ giác DKBE nội tiếp nên $\widehat {IKD} = \widehat {BKD} = {180^0} - \widehat {BED} = {90^0}$

Do đó: $\widehat {IJD}$ vuông hay IJ vuông góc với DJ.