19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có đáp án

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a). $\sqrt {96.125}$. b). $\sqrt {{a^4}{b^5}}$.

c). $\sqrt {{a^6}{b^{11}}}$. d). $\sqrt {{a^3}{{\left( {1 - a} \right)}^4}} \left( {a > 1} \right)$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a). $x\sqrt {13}$ với $x \ge 0$. b). $x\sqrt 2$ với $x < 0$. c). $x\sqrt { - \frac{{11}}{x}}$ với $x < 0$.

Rút gọn các biểu thức

a). $\sqrt {50} - \sqrt {32} + 3\sqrt 8$; b). $\sqrt {25a} + 2\sqrt {160a} - 3\sqrt {10a}$ với $a \ge 0$.

c). $\left( {2\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7 - \sqrt {84}$. d). $\left( {\sqrt {63} - \sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {14}$.

Khai triển và rút gọn biểu thức (với $x \ge 0;y \ge 0$)

a). $\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)$.

b). $\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)$.

c). $\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)$

Chứng minh rằng:

a). $\frac{{\left( {x\sqrt y - y\sqrt x } \right)\left( {2\sqrt y + 2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt {xy} }} = x - y$ với $x > 0,\,y > 0$.

b). $x + 2\sqrt {5x - 25} = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt {x - 5} } \right)^2}$ với $x \ge 5$.

Trục căn ở mẫu:

a)$\frac{9}{{\sqrt 3 }}$ b)$\frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }}$;

c) $\frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}}$; d) $\frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}$

e) $\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }}$; f)$\frac{1}{{\sqrt {18} + \sqrt 8 - 2\sqrt 2 }}$.

g) $\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 - \sqrt 3 }};$ h) $\frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 5 }}$

Rút gọn biểu thức:

a) $A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }}$; b) $B = \frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6$.

Chứng minh đẳng thức:

a). $\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}$

b). $\frac{{a\sqrt b + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = b{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)$

Giải phương trình:

a) $\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9} + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}} = - 17;$

b)$3x - 7\sqrt x + 4 = 0;$

c) $- 5x + 7\sqrt x + 12 = 0;$

Xét biểu thức: $A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$.

a) Rút gọn $A$; b) Biết ${\rm{ a}} \ge 1$, hãy so sánh $A$ và $\left| A \right|$;

c)Tìm $a$ để $A = 2$; d)Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$.

Xét biểu thức: $B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)$

a). Rút gọn $B$;

b). Tìm giá trị của $B$ nếu $a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};$

c). Với giá trị nào của a thì ${\rm{ }}\sqrt B > B$.

Rút gọn biểu thức:

a). $3\sqrt {2a} - \sqrt {18{a^3}} + 4\sqrt {\frac{a}{2}} - \frac{1}{4}\sqrt {128a}$ (với $a \ge 0$)

b). $2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}} - \sqrt {{x^3} - {x^2}y}$ (với $x > y > 0$)

c). $\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ (với $a \ge 0,b \ge 0,a \ne b$)

Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }}$ b) $\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}$

Chưng minh dăng thưc:

a) $\frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }} - \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{x^4}}} - 1} = \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}};$ với $|a| > |x|$

b) ${\left( {\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^2} - {\left( {\frac{{5 - 2\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}} \right)^2} = 4\sqrt 6$

c) $\left( {\frac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \sqrt {xy} } \right):{(\sqrt x + \sqrt y )^2} = 1\quad (x > 0,y > 0,x \ge y)$

Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$

a) Rút gọn A nếu $x \ge 0$ và $x \ne 4$;

b) Tìm x để $A = 2$.

Cho biểu thức: $B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}$ với $a > b > 0.$

a) Rút gọn B;

b) Tính B nếu $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$;

c) Tìm điều kiện của $a,b$ để $B < 1$.

Cho biểu thức: $C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

a) Rút gọn C nếu $x \ge 0,x \ne 1;$

b) Tìm $x$ để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của C.

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

$\left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} + \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y - \sqrt x }}$ với $x > 0,y > 0,x \ne y.$