15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có đáp án

Chọn B

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

Chọn B

Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường phân giác trong của tam giác đó.

Chọn A

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của tam giác đó.

Chọn C

Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn ngoại tiếp nên đáp án A và B đều đúng.

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của một tam giác nên đáp án D không đúng.

Vậy đáp án đúng nhất là đáp án C.

Chọn B

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn C

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Gọi $E;{\rm{ }}F;{\rm{ }}K;{\rm{ }}G$ lần lượt là trung điểm của $AD,{\rm{ }}DC,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}AB$.

Khi đó ta có $OE = OF = OK = OG = \;\frac{a}{2}$ hay $O$ là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là $R = \frac{a}{2}$.

Chọn B

Gọi tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;{\rm{ }}R} \right)$ có cạnh là $a.$

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Gọi $AH$ là đường trung tuyến.

Suy ra $R = AO = \frac{2}{3}AH$ hay $AH = \frac{{3R}}{2}$.

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có: $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$

Khi đó $AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó $\frac{{3R}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ hay $a = R\sqrt 3$.

Chọn D

Gọi tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;{\rm{ }}R} \right)$ có cạnh là $a$.

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $AO = 2\,\,{\rm{cm}}$.

Gọi $AH$ là đường trung tuyến.

Suy ra $2 = AO = \frac{2}{3}AH$ hay $AH = 3\,\,{\rm{cm}}$.

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có: $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$

Khi đó $AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó $3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ hay $a = 2\sqrt 3$ (cm).

Diện tích tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt 3 = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Vậy diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn $\left( {O\,;\,\,2\,\,{\rm{cm}}} \right)$ là $3\sqrt 3 \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Chọn C

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm O của cạnh huyền $BC$, bán kính $R = \frac{{BC}}{2}$.

Theo định lý Pythagore, ta có:

$BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13$ (cm).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{13}}{2}$ (cm).

Chọn D

Vì $AC$ bằng cạnh của hình vuông nội tiếp $\left( O \right)$ nên số đo cung $AC = 90^\circ$.

Vì $BC$ bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp $\left( O \right)$ nên số đo cung $BC = 120^\circ$.

Từ đó suy ra số đo cung $AB$ bằng $120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$

Vì góc $ACB$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ nên $\widehat {ACB} = \frac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ$.

Vậy $\widehat {ACB} = 15^\circ$.

Chọn B

Đường tròn $\left( {I;{\rm{ }}r} \right)$ tiếp xúc với các cạnh $AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BC$ theo thứ tự $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P$.

Ta có: ${S}_{AIB}=\frac{1}{2}IM\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot r\cdot AB(1)$

${S}_{AIC}=\frac{1}{2}IN\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot r\cdot AC(2)$

${S}_{BIC}=\frac{1}{2}r.BC(3)$

Cộng vế theo vế ở các biểu thức $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)$, ta được:

$\frac{{{S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}r\left( {AB + AC + BC} \right)$.

Mà ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24$ (cm2), $BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10$ (cm)

Nên ta có: $24 = \frac{1}{2}r \cdot \left( {6 + 8 + 10} \right)$ hay $\frac{1}{2}r \cdot 12 = 24$.

Do đó $r = 2\,\,{\rm{cm}}$.

Chọn B

Ta có: $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( { = 100} \right)$.

Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm O của cạnh huyền $BC$.

Đường kính đường tròn là: $d = BC = 10{\rm{ cm}}$.

Suy ra, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R{\rm{ }} = \frac{d}{2}\; = 5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy $R = 5\,\,{\rm{cm}}.$

Chọn A

Gọi $E,{\rm{ }}F$ là tiếp điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với các cạnh $AB,{\rm{ }}AC$.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $AE = AF;{\rm{ }}BE = BD;\,\,CD = CF$.

Do đó $2BD=BD+BE$ $=BC-CD+AB-AE$

$=BC+AB-(CD+AE)$ $=BC+AB-(CF+AF)$

$=BC+AB-AC$

Suy ra $BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}$.

Chọn A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên $AB \cdot AC = A{H^2}$.

Mặt khác $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}$ hay $AB = \frac{3}{4}AC$. Thế vào biểu thức trên ta được:

$\frac{3}{4}A{C^2} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2}$ hay $AC = \frac{{8\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Suy ra $AB = \frac{3}{4} \cdot \frac{{8\sqrt 3 }}{5} = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Do đó $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm O của cạnh huyền $BC$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$ (cm).

Chọn B

Áp dụng định lí Pythagore, ta có độ dài đường chéo của hình chữ nhật là:

$\sqrt {{6^2} + {4^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}$ (cm).

Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn nên đường kính của đường tròn chính là độ dài của đường chéo hình chữ nhật.

Bán kính đường tròn là: $R = \frac{{2\sqrt {13} }}{2} = \sqrt {13}$ (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: ${S_{hcn}} = 6 \cdot 4 = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}$

Diện tích hình tròn là: ${S}_{hình\ tròn}=π{R}^{2}=13π\ ({\text{cm}}^{\text{2}})\text{.}$

Diện tích phần bị gạch chéo là: $S={S}_{tròn}-{S}_{hcn}=13π-24\approx 16{,}84\ ({\text{cm}}^{\text{2}}).$

Vậy diện tích phần bị gạch chéo bằng khoảng $16{,}84{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}$