15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng có đáp án

Chọn D

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

⦁ $c = a.\cos B = a.\sin C\,;$

⦁ $c = b.\cot B = b.\tan C.$

Chọn A

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

⦁ $b = c\tan B = c\cot C\,;$

⦁ $c = b\tan C = b\cot B.$

Chọn D

Vì tam giác $DEG$ vuông tại $E$ nên:

⦁ $EG = DG.\sin D = DG.\cos G.$

Suy ra $DG = \frac{{EG}}{{\sin D}} = \frac{{EG}}{{\cos G}}.$ Do đó phương án A, C là khẳng định đúng.

⦁ $DE = DG.\sin G.$ Suy ra $DG = \frac{{DE}}{{\sin G}}.$ Do đó phương án B là khẳng định đúng.

⦁ $EG = DE.\cot G.$ Suy ra $DE = \frac{{EG}}{{\cot G}}.$ Do đó phương án D là khẳng định sai.

Chọn C

Vì tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên $AH = BH.\tan B = 10{,}4.\tan 35^\circ .$

Chọn B

Theo đề bài, ta có độ dài cạnh góc vuông $AB = 250$ (m) và độ dài cạnh huyền $BC = 320$ (m).

Mà cạnh góc vuông $AB$ là cạnh kề của góc nhọn $\alpha$.

Do đó để tính giá trị của $\alpha$, cách đơn giản nhất là ta nên sử dụng tỉ số giữa cạnh kề $AB$ và cạnh huyền $BC$ của góc nhọn $\alpha$. Tức là sử dụng côsin của góc nhọn $\alpha$.

Chọn B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$ (cm).

Chọn A

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC = BC.\cos C.$

Suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{20}}{{\cos 60^\circ }} = 40$ (cm).

Chọn B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7{,}71$ (cm).

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .$

Chọn C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có:

⦁ $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ nên $\cos C = \sin B = \frac{3}{5}.$ Do đó phương án A là khẳng định đúng.

⦁ $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}.$ Suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{16}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{80}}{3} \approx 26{,}7$ (cm). Do đó phương án C là khẳng định sai.

⦁ $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (theo định lí Pythagore)

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {\left( {\frac{{80}}{3}} \right)^2} - {16^2} = \frac{{4096}}{9}.$ Do đó $AB = \frac{{64}}{3} \approx 21{,}3$ (cm).

Như vậy phương án D là khẳng định đúng.

⦁ $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\frac{{64}}{3}}}{{\frac{{80}}{3}}} = \frac{4}{5}.$ Do đó phương án B là khẳng định đúng.

Chọn B

Theo đề, ta có $BH = 14{,}25$ m và $\widehat {ABH} = 55^\circ .$

Vì tam giác $ABH$ vuông tại H nên $AH = BH.\tan \widehat {ABH} = 14{,}25.\tan 55^\circ \approx 20{,}35$ (m).

Do đó chiều cao của cây xanh là $AH \approx 20{,}35$ m.

Chọn D

Theo đề, ta có $AC = 4{,}8$ m và $\widehat {BAC} = 32^\circ .$

Chiều cao của thang so với mặt đất là độ dài $AB.$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB = AC.\cos \widehat {BAC} = 4{,}8.\cos 32^\circ \approx 4{,}1$ (m).

Do đó chiều cao của thang so với mặt đất là $4{,}1$ m.

Chọn D

Theo đề, ta có $\widehat {BAC} = 23^\circ$ và $BC = 2\,\,500$ (m).

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}}.$

Suy ra $AC = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}$ hay $x = \frac{{2\,\,500}}{{\sin 23^\circ }} \approx 6\,\,398$ (m).

Do đó muốn đạt độ cao $2500$ m thì máy bay phải bay một đoạn đường $x$ dài $6\,\,398$ mét.

Chọn C

Tam giác $ABC$ có $AN$ là đường cao. Suy ra $AN \bot BC$ tại $N.$

Vì tam giác $ABN$ vuông tại $N$ nên $\tan B = \frac{{AN}}{{BN}}.$ Suy ra $BN = \frac{{AN}}{{\tan B}}.$

Tương tự, vì tam giác $ACN$ vuông tại $N$ nên $\tan C = \frac{{AN}}{{CN}}.$ Suy ra $CN = \frac{{AN}}{{\tan C}}.$

Ta có $BN + CN = BC = 9$ hay $\frac{{AN}}{{\tan B}} + \frac{{AN}}{{\tan C}} = 9$

Tức là, $AN\left( {\frac{1}{{\tan 50^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) = 9$

Khi đó $AN = 9:\left( {\frac{1}{{\tan 50^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) \approx 3{,}97 \approx 4$ (cm).

Vậy độ dài $AN$ gần nhất với giá trị là $4$ cm.

Chọn C

Kẻ $BH \bot CD$ tại $H.$

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {ADH} = \widehat {BHD} = 90^\circ$ suy ra tứ giác $ABHD$ là hình chữ nhật.

Do đó $BH = AD = 1{,}2$ và $DH = AB = 2.$

Vì tam giác $BCH$ vuông tại $H$ nên $\tan C = \frac{{BH}}{{CH}}.$

Suy ra $CH = \frac{{BH}}{{\tan C}} = \frac{{1{,}2}}{{\tan 50^\circ }} \approx 1.$

Ta có $CD = DH + HC \approx 2 + 1 \approx 3.$

Diện tích hình thang $ABCD$ là: $S = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD \approx \frac{1}{2}.\left( {2 + 3} \right).1{,}2 \approx 3$ (đvdt).

Chọn B

Kẻ $BH \bot AC$ tại $H.$

Tam giác $ABC,$ có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 65^\circ } \right) = 40^\circ .$

Vì tam giác $BCH$ vuông tại $H$ nên:

⦁ $BH = BC.\sin \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225.\sin 65^\circ$ (m);

⦁ $CH = BC.\cos \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225.\cos 65^\circ$ (m).

Vì tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên $BH = AH \cdot \tan \widehat {BAH}$

Suy ra $AH = \frac{{BH}}{{\tan \widehat {BAH}}} = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }}$ (m).

Khi đó $AC = AH + CH = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }} + 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \cos 65^\circ \approx 1{\rm{\;\;}}841$ (m).

Do đó khoảng cách $AC$ khoảng $1{\rm{\;\;}}841$ m.