15 câu trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều Bài 3. Tiếp tuyến của đường tròn có đáp án

Đáp án đúng là: B

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$ và vuông góc với bán kính $OA$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên đường thẳng $d$ là một tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right).$

Tức là, $d$ là tiếp tuyến của $\left( O \right),$ với $A$ là tiếp điểm.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và hai điểm $A,B$ nằm trên đường tròn $\left( O \right).$ Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A,B$ cắt nhau tại $M$ thì $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB.}$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và hai điểm $M,N$ thuộc đường tròn $\left( O \right).$ Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $M,N$ cắt nhau tại $A$ thì điểm $A$ cách đều hai tiếp điểm. Tức là, $AM = AN.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Cho đường tròn $\left( I \right)$ và hai điểm $P,Q$ thuộc đường tròn $\left( I \right).$ Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( I \right)$ tại $P,Q$ cắt nhau tại $E$ thì $IE$ là tia phân giác của $\widehat {PIQ}.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ, ta thấy $BA,BC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( D \right).$

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $BA = BC.$

Tức là, $4x - 9 = 15$

$$4x = 24$$

$$x = 6.$$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Gọi $H$ là giao điểm của $BC$ và $OA.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $A$ nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $AB = AC.$ Do đó điểm $A$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$ (1)

Đường tròn $\left( O \right)$ có $OB = OC = R$ nên điểm $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC.$

Suy ra $OA \bot BC$ tại $H$ là trung điểm của $BC.$

Do đó ta chưa kết luận được $H$ có là trung điểm của $OA$ hay không.

Vì vậy phương án A, B, C đúng và phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Vì $ME,MF$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( I \right)$ nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $ME = MF.$ Do đó tam giác $EMF$ cân tại $M.$

Mà $\widehat {EMF} = 60^\circ$ nên tam giác $EMF$ đều.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Gọi $H$ là giao điểm của $BC$ và $OA.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $A$ nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $AB = AC.$ Do đó điểm $A$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$ (1)

Đường tròn $\left( O \right)$ có $OB = OC = R$ nên điểm $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC.$

Suy ra $OA \bot BC$ tại $H$ là trung điểm của $BC.$ (3)

Đường tròn $\left( O \right)$ có $CD$ là đường kính nên tâm $O$ là trung điểm $CD$ hay $OC = OD = \frac{{CD}}{2} = BO.$

Xét tam giác $BCD$ có $BO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $CD$ và $BO = \frac{{CD}}{2}$ nên tam giác $BCD$ vuông tại $B$ hay $BD \bot BC$ (4)

Từ (3), (4), ta suy ra $BD\,{\rm{//}}\,OA.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Vì $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AC \bot AO$ tại $A.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ ta được:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100.$ Suy ra $BC = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì $AC,\,\,CM$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $CM = CA = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Ta có $BM = BC - CM = 10 - 6 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Vì đường tròn $\left( O \right)$ có $IA,IB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $I$ nên $\widehat {AOI} = \widehat {KOI}.$

Lại có $OA\,{\rm{//}}\,KI$ (vì cùng vuông góc với $AI$) nên $\widehat {AOI} = \widehat {KIO}$ (cặp góc so le trong)

Do đó $\widehat {KOI} = \widehat {KIO}.$

Vì vậy tam giác $KOI$ cân tại $K.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

⦁ Đường tròn $\left( O \right)$ có $OA = OC = R$ nên tam giác $OAC$ cân tại $O.$

Tam giác $OAC$ cân tại $O$ có $OH$ là đường trung tuyến nên $OH$ cũng là đường cao của tam giác, do đó $OH \bot AC$ hay $\widehat {OHA} = 90^\circ .$

Vì $AN$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OA \bot AN$ hay $\widehat {OAN} = 90^\circ .$

Xét $\Delta OHA$ và $\Delta OAN,$ có:

$\widehat {OHA} = \widehat {OAN} = 90^\circ ;$ $\widehat {AON}$ là góc chung.

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{ON}}.$

Vì vậy $OH \cdot ON = O{A^2} = {R^2}.$ Do đó khẳng định (i) là đúng.

⦁ Tam giác $OAC$ cân tại $O$ có $OH$ là đường trung tuyến nên $OH$ cũng là đường phân giác của tam giác, do đó $\widehat {AOH} = \widehat {COH}.$

Xét $\Delta AON$ và $\Delta CON,$ có:

$OA = OC = R;$ $\widehat {AON} = \widehat {CON};$ $ON$ là cạnh chung.

Do đó $\Delta AON = \Delta CON$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {OAN} = \widehat {OCN}.$ Nên $\widehat {OCN} = 90^\circ .$

Vì vậy $OC \bot CN$ tại $C$ hay $CN$ là tiếp tuyến của $\left( O \right).$ Do đó khẳng định (ii) là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

⦁ Kẻ $OH \bot MN$ tại $H.$

Vì $AM \cdot BN = {R^2} = AO \cdot BO$ nên $\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}.$

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta BNO,$ có:

$\widehat {OAM} = \widehat {OBN} = 90^\circ$ (vì $AM,BN$ là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$);

$\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}$ (chứng minh trên).

Do đó (c.g.c)

Suy ra $\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}};$ $\widehat {{O_1}} = \widehat {{N_1}}$ và $\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{OM}}{{ON}}$ hay $\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{BO}}{{ON}}.$

Vì tam giác $AOM$ vuông tại $A$ nên $\widehat {{M_1}} + \widehat {{O_1}} = 90^\circ .$ Suy ra $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ .$

Ta có $\widehat {AOB} = 180^\circ$ hay $\widehat {{O_1}} + \widehat {MON} + \widehat {{O_2}} = 180^\circ .$

Tức là, $\widehat {MON} = 180^\circ - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$ Do đó (ii) là nhận định đúng.

⦁ Xét $\Delta AOM$ và $\Delta ONM,$ có:

$$\widehat {OAM} = \widehat {MON} = 90^\circ ;$$

$\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{AO}}{{ON}}$ (do $\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{BO}}{{ON}},\,\,AO = BO).$

Do đó (c.g.c)

Suy ra $\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}.$

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta HOM,$ có:

$\widehat {OAM} = \widehat {OHM} = 90^\circ ;$ $OM$ là cạnh chung; $\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}$

Do đó $\Delta AOM = \Delta HOM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $OA = OH,$ mà $OA = R$ nên $OH = R$.

Vì $OH = R$ và $OH \bot MN$ tại $H$ nên $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $H.$

Do đó (i) là nhận định đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MA = MB$ và $MO,\,\,OM$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat {AMB},\,\,\widehat {AOB}.$

Khi đó $\widehat {AMO} = \widehat {OMB} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ .$

Ta có $MA$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên $MA \bot OA$ tại $A.$

Vì tam giác $OAM$ vuông tại $A$ nên $AM = AO \cdot \cot \widehat {AMO} = R \cdot \cot 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.$

Suy ra $MB = MA = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.$

Vì tam giác $OAM$ vuông tại $A$ nên $\widehat {AMO} + \widehat {AOM} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .$

Ta có $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .$

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = R$ và $\widehat {AOB} = 60^\circ$ nên tam giác $OAB$ là tam giác đều.

Khi đó $AB = OA = OB = R.$

Ta có chu vi tam giác $MAB$ là $MA + MB + AB$

Theo bài chu vi tam giác $MAB$ bằng $6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right){\rm{\;cm,}}$ suy ra:

$$\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + \frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)\,$$

$$R \cdot \left( {\frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}} \right) = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)$$

$$R = 18{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$$

Vì vậy $AB = R = 18{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$ Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Đổi: $10{\rm{\;m}} = 0{,}01{\rm{\;km}}.$

Gọi $O$ là tâm Trái Đất và $R$ là bán kính Trái Đất. Suy ra $R = 6400{\rm{\;km}}.$

Ta có điểm $B$ biểu diễn vị trí con tàu và điểm $A$ biểu diễn vị trí của thủy thủ.

Suy ra $h = AB = 10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Lại có điểm $A$ biểu diễn vị trí của thủy thủ và điểm $C$ biểu diễn điểm xa nhất mà thủy thủ nhìn thấy. Khi đó độ dài đoạn $AC$ gọi là tầm nhìn xa tối đa từ điểm $A.$

Vì $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại $C$ nên $AC \bot OC$ tại $C.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $AOC$ vuông tại $C,$ ta được: $O{A^2} = A{C^2} + O{C^2}.$

Suy ra $A{C^2} = O{A^2} - O{C^2} = {\left( {OB + AB} \right)^2} - O{C^2}$

$$A{C^2} = {\left( {R + h} \right)^2} - {R^2} = {\left( {6\,\,400 + 0{,}01} \right)^2} - 6\,\,{400^2} = 128{,}0001.$$

Khi đó $AC \approx 11{,}314{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$

Do đó tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ đó bằng khoảng $11{,}314{\rm{\;km}}.$

Vậy ta chọn phương án D.