15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta chọn 3 phần tử bất kỳ trong 7 phần tử ta sẽ được một tập con có 3 phần tử của tập có 7 phần tử. Vậy mỗi cách chọn như vậy là là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

Số tập con là $C_7^3$

Đáp án đúng là: B

Vì xếp vào bàn tròn nên vị trí xếp đầu tiên là như nhau nên có 1 cách xếp, ta xếp 7 người còn lại vào 7 vị trí nên có 7! Cách xếp

Vậy có 1.7! = 5040 cách xếp

Đáp án đúng là: D

Chọn An có 1 cách chọn.

Chọn 3 bạn trong 11 bạn còn lại có $C_{11}^3 = 165$ cách chọn.

Vậy có 1.165 = 165 cách chọn.

Đáp án đúng là: C

Ta lập nhóm có 2 học sinh: ta chọn bất kỳ 2 học sinh trong 10 học sinh có $C_{10}^2$ cách

Ta lập nhóm có 3 học sinh: vì chọn 2 học sinh để lập nhóm đầu tiên nên còn lại 8 học sinh, ta chọn 3 học sinh bất kì trong 8 học sinh có $C_8^3$ cách

Ta lập nhóm có 5 học sinh: vì đã lập nhóm có 2 và 3 học sinh nên còn lại 5 học sinh, ta chọn 5 học sinh để lập thành nhóm có $C_5^5$ cách

Vậy có $C_{10}^2$.$C_8^3$.$C_5^5$ cách

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta có 2 điểm A, B phân biệt thì có hai vectơ là vectơ $\overrightarrow {AB}$ và vectơ $\overrightarrow {BA}$

Vì cứ chọn 2 điểm bất kỳ trong 10 điểm ta được hai vectơ nên mỗi cách chọn ra 2 điểm trong 10 điểm là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Hay số vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt là chỉnh hợp chập 2 của 10. Vậy số vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là 2.$C_{10}^2$ = $A_{10}^2$ = 90 (vectơ).

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách chọn là $A_{10}^2$ = 90 cách.

Đáp án đúng là: B

Vì có 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi xen kẽ nên học sinh nữ phải ngồi vị trí đầu tiên. Xếp 3 học sinh nữ có 3! Cách, xếp 2 học sinh nam có 2! Cách.

Vậy có 3!.2! = 12 cách

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x $\in$ ℕ, x ≥ 2.

Ta có:$A_x^2 = 90 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 90 \Leftrightarrow x(x - 1) = 90 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 9\end{array} \right.$.

So sánh điều kiện ta nhận x = 10 thoả mãn

Vậy x thoả mãn điều kiện 2x + 3 > 20

Đáp án đúng là: A

Tổng số đường chéo và cạnh của đa giác là : $C_n^2$

$\Rightarrow$ Số đường chéo của đa giác là $C_n^2 - n$.

Ta có: Số đường chéo bằng số cạnh

$\Leftrightarrow C_n^2 - n = n$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 2n$$\Leftrightarrow$ n(n – 1) = 4n $\Leftrightarrow$ n – 1 = 4 $\Leftrightarrow$n = 5

Vậy n thuộc khoảng (4; 7)

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: m ≥ n + 2; m, n $\in$ ℕ

Theo tính chất $C_m^n = C_m^{m - n}$ nên từ $C_m^n = C_m^{n + 2}$ suy ra 2n + 2 = m

$C_m^2 = 153$$\Leftrightarrow \frac{{m!}}{{2!(m - 2)!}} = 153$ $\Leftrightarrow \frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{2} = 153$

$\Leftrightarrow {m^2} - m - 306 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m = - 17\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện m = 18 ⇒ n = 8

Vậy m + n = 18 + 8 = 26.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n ≥ 17; n $\in$ ℕ, ta có $C_n^4 = 20C_n^2$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$

$\Leftrightarrow$ (n – 2)(n – 3) = 240$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\\n = - 13\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện n = 18 thoả mãn. Vậy $M = A_3^2 + 3A_4^3$ = 78.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n $\in$ℕ, n ≥ 2.

Ta có $3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 42\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow 3\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} - 3\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 42\left( {n - 1} \right)$

$\Leftrightarrow 3\frac{{(n + 1)n(n - 1)(n - 2)...1}}{{3.2.1.(n - 2)...1}} - 3\frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{(n - 2)(n - 3)...1}} = 42(n - 1)$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 3n\left( {n - 1} \right) = 42\left( {n - 1} \right)$

$\Leftrightarrow$ (n + 1)n – 6n = 84

$\Leftrightarrow$ n$^{2}$ – 5n – 84 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\\n = - 7\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện ta có n = 12 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Giá trị của biểu thức $3C_n^4 - A_n^2$ = $3C_{12}^4 - A_{12}^2$ =1353.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài: Vì trong tập A không có 3 điểm nào thẳng hàng nên lấy bất kỳ 3 điểm của tập A sẽ tạo thành một tam giác và lấy 2 điểm bất kì của tập A sẽ tạo thành một đoạn thẳng. Số tam giác lập được là $C_n^3$, số đoạn thẳng có thể tạo thành là $C_n^2$. Theo bài ra ta có $C_n^3 = 2C_n^2$ (1) (với n $\in$ℕ, n ≥ 3)

$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{6} = \frac{1}{{n - 2}} \Leftrightarrow n = 8$$

Đáp án đúng là: A

Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ thoả mãn bóng đèn loại I nhiều hơn bóng đèn loại II nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có $C_5^5$ = 1 cách

Trường hợp 2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có $C_5^4.C_7^1$ = 35 cách

Trường hợp 3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có $C_5^3.C_7^2$ = 210 cách

Theo quy tắc cộng, có 1 + 35 + 210 = 246 cách

Đáp án đúng là: A

Ta có $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 4n + 6$

$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} = 4n + 6\,$$

$\Leftrightarrow$ 2(n – 1)n – n(n + 1) = 8n + 12

$\Leftrightarrow$ n$^{2}$ – 11n – 12 = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\\n = - 1\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn điều kiện đề bài.

Vậy P = $3C_n^3 + 2A_n^4 - 2n$ = $3C_{12}^3 + 2A_{12}^4 - 2.12$ = 24396.