15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{15}^{2}+{13}^{2}-{24}^{2}}{2.15.13}=-\frac{7}{15}$

Do đó $\widehat{A}\approx 117^{\circ}49'.$

Vậy $\widehat{A}\approx 117^{\circ}49'.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=68^{\circ}12',\widehat{B}=34^{\circ}44',$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-68^{\circ}12'-34^{\circ}44'=77^{\circ}4'.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{117.\sin 34^{\circ}44'}{\sin 77^{\circ}4'}\approx 68.$

Vậy AC ≈ 68.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AC.BC.cosC

$\Rightarrow {(\sqrt{2})}^{2}={(\sqrt{3})}^{2}+B{C}^{2}-2.\sqrt{3}.BC.cos45^{\circ}$

$\Rightarrow B{C}^{2}-\sqrt{6}.BC+1=0$

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ (vì BC > 0)

Vậy $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

+) $\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{(\sqrt{3}+1)}^{2}+{(\sqrt{6})}^{2}-{2}^{2}}{2.(\sqrt{3}+1)\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow \widehat{A}=45^{\circ}$

+) $\cos B=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{(\sqrt{3}+1)}^{2}+{2}^{2}-{(\sqrt{6})}^{2}}{2.(\sqrt{3}+1).2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{B}=60^{\circ}$

Do đó $\widehat{B}-\widehat{A}=60^{\circ}-45^{\circ}=25^{\circ}.\Rightarrow \widehat{B}=60^{\circ}$

Vậy $\widehat{B}-\widehat{A}=25^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2.12}{5.8}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{A}\approx 36^{\circ}52'$ (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}\approx 36^{\circ}52'$, áp dụng định lí côsin ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA

BC$^{2}$ ≈ 5$^{2}$ + 8$^{2}$ – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

Þ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=40^{\circ},\widehat{B}=60^{\circ},$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}.$

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{5.\sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}\approx 3{,}3$

Vậy BC ≈ 3,3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và $\widehat{ABC}=60^{\circ},$ áp dụng định lí côsin ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AB.BC.$cos\widehat{ABC}$

Þ AC$^{2}$ = 2$^{2}$ + 3$^{2}$ – 2.2.3.cos60° = 7 $\Rightarrow AC=\sqrt{7}$

Do đó chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC $=2+3+\sqrt{7}=5+\sqrt{7}.$

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}.2.3.\sin 60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: $5+\sqrt{7}$ và $\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{ABM}=\widehat{MBN}=\widehat{NBC}=\frac{\widehat{ABC}}{3}=\frac{90^{\circ}}{3}=30^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{ABN}=\widehat{MBC}=60^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ – 2.AB.BM.$cos\widehat{ABM}$

Þ AM$^{2}$ = q$^{2}$ + x$^{2}$ – 2.q.x.cos30°

$\Rightarrow A{M}^{2}={q}^{2}+{x}^{2}-2.q.x.\frac{\sqrt{3}}{2}={q}^{2}+{x}^{2}-qx\sqrt{3}.$ (1)

Do đó phương án B là mệnh đề sai.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABN ta có:

AN$^{2}$ = AB$^{2}$ + BN$^{2}$ – 2.AB.BN.$cos\widehat{ABN}$

Þ AN$^{2}$ = q$^{2}$ + y$^{2}$ – 2.q.y.cos60°

$\Rightarrow A{N}^{2}={q}^{2}+{y}^{2}-2.q.y.\frac{1}{2}={q}^{2}+{y}^{2}-qy.$ (2)

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Từ (1) và (2) suy ra AM$^{2}$ ≠ AN$^{2}$ nên phương án A là mệnh đề sai.

Tam giác ABC vuông tại B nên AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = q$^{2}$ + m$^{2}$.

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{CAB}=180^{\circ}-51^{\circ}40'=128^{\circ}20'$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-128^{\circ}20'-45^{\circ}39'=6^{\circ}1'.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 45^{\circ}39'}=\frac{10}{\sin 6^{\circ}1'}$ $\Rightarrow AC=\frac{10.\sin 45^{\circ}39'}{\sin 6^{\circ}1'}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}$

$\Rightarrow CH=\frac{10.\sin 45^{\circ}39'}{\sin 6^{\circ}1'}.\sin 51^{\circ}40'$ ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{4{,}3+7{,}5+3{,}7}{2}=\frac{31}{4}(cm)$

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}\approx 5{,}2(c{m}^{2})$

Mặt khác: $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}\approx \frac{4{,}3.7{,}5.3{,}7}{4.5{,}2}\approx 5{,}73(cm)$

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và $\widehat{AOB}=135^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OA.OB.$\sin \widehat{AOB}$

Þ 10$^{2}$ = (13x)$^{2}$ + (12x)$^{2}$ – 2.13x.12x.sin120°

$\Rightarrow {10}^{2}=169{x}^{2}+144{x}^{2}-312{x}^{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow {10}^{2}=(313-156\sqrt{3}){x}^{2}$

$\Rightarrow {x}^{2}=\frac{10}{313-156\sqrt{3}}$ Þ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABD ta có: $α=\widehat{ADB}+β$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=α-β=63^{\circ}-48^{\circ}=15^{\circ}.$

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có: $\frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}$

$\Rightarrow AD=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}.\sin B=\frac{24}{\sin 15^{\circ}}.\sin 48^{\circ}\approx 68{,}91(m)$

Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sinα

Þ h ≈ 68,91.sin63° ≈ 61,4 (m)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos A.\sin \frac{B-C}{2}=0\Rightarrow [\begin{matrix}\cos A=0 \\ sin\frac{B-C}{2}=0\end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix}A=90^{\circ} \\ \frac{B-C}{2}=0^{\circ}(vì\frac{B-C}{2}=180^{\circ}\ là\ vô\ lí)\end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix}\widehat{A}=90^{\circ} \\ \widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}$

Þ DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ ta có $\widehat{ABC}=90^{\circ}+15^{\circ}30'=105^{\circ}30'$

Xét tam giác ABC có $\widehat{CAB\ }=60^{\circ},\ \widehat{ABC}=105^{\circ}30'$ ta có:

$\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-60^{\circ}-105^{\circ}30'=14^{\circ}30'.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{70.\sin 105^{\circ}30'}{\sin 14^{\circ}30'}\approx 269{,}4(m)$

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269{,}4.\sin 30^{\circ}\approx 134{,}7(m)$

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=α,\widehat{TPO}=β$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ$^{2}$ = OP$^{2}$ + OQ$^{2}$ – 2.OP.OQ.cos $\widehat{POQ}$

$\Rightarrow P{Q}^{2}={2}^{2}+{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^{2}-\ 2.2.(\sqrt{2}+\sqrt{6}).cos45^{\circ}$ Þ PQ$^{2}$ = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}(m)$

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cosα=cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^{2}+P{Q}^{2}-O{P}^{2}}{2.OQ.PQ}=\frac{{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^{2}+8-{2}^{2}}{2.(\sqrt{2}+\sqrt{+6}).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75^{\circ}$

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45^{\circ}+75^{\circ}=180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{OTP}=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60^{\circ}}=\frac{PT}{\sin 45^{\circ}}$ $\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$