15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; –3), bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Với I(1; –5) ta có: $\overrightarrow{OI}=(1;-5)$

Đường tròn (C) có tâm I(1; –5) và đi qua O(0; 0) nên có bán kính là:

R = OI = $\sqrt{{1}^{2}+{(-5)}^{2}}=\sqrt{26}$

Suy ra R$^{2}$ = 26.

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 5)$^{2}$ = 26.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Phương trình (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = –6, b = 7, c = 4.

Suy ra tâm I(–6; 7).

Ta có R$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 36 + 49 – 4 = 81.

Vậy phương trình của đường tròn (C) là: (x + 6)$^{2}$ + (y – 7)$^{2}$ = 81.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình trục Oy: x = 0.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –3) và tiếp xúc với trục Oy nên có bán kính là:

R = d(I, Oy) = $\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=2$

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ = 4.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Phương trình đã cho có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = 3, b = –1, c = 6.

Suy ra tâm I(3; –1).

Ta có R$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 9 + 1 – 6 = 4.

Suy ra R = 2.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(3; –1), bán kính R = 2.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Vì M là trung điểm AB nên ta có $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{0+2}{2}=1 \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{4+4}{2}=4\end{matrix}$

Suy ra M(1; 4).

Tương tự, ta có N(3; 2).

Đường trung trực ∆$_{1}$ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(1; 4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=(2;0)$

Suy ra phương trình ∆$_{1}$ là: 2(x – 1) + 0(y – 4) = 0 ⇔ x – 1 = 0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực ∆$_{2}$ của đoạn thẳng BC đi qua điểm N(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=(2;-4)$ là:

2(x – 3) – 4(y – 2) = 0 Û x – 2y + 1 = 0.

Vì IA = IB = IC = R nên I cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó I nằm trên đường trung trực ∆$_{1}$ và I cũng nằm trên đường trung trực ∆$_{2}$.

Hay I là giao điểm của ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$.

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-1=0 \\ x-2y+1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=1\end{matrix}$

Suy ra tọa độ tâm I(1; 1).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Phương trình đường tròn có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 (điều kiện: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0).

• Ta thấy phương trình ở phương án A và C không có dạng như trên.

Nên ta loại phương án A, C.

• Ta xét phương án B:

Ta có a = 1, b = 4, c = 20.

Suy ra a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 1 + 16 – 20 = –3 < 0.

Do đó phương trình ở phương án B không phải là một phương trình đường tròn.

Vì vậy ta loại phương án B.

Đến đây ta có thể chọn phương án D.

• Ta xét phương án D:

Ta có a = 2, b = –3, c = –12.

Suy ra a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0.

Do đó phương trình ở phương án D là một phương trình đường tròn.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có 16x$^{2}$ + 16y$^{2}$ + 16x – 8y – 11 = 0.

Suy ra ${x}^{2}+{y}^{2}+x-\frac{1}{2}y-\frac{11}{16}=0$

Phương trình (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với $a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{4},c=-\frac{11}{16}$

Suy ra tâm $I(-\frac{1}{2};\frac{1}{4})$

Ta có R$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{11}{16}=1$

Suy ra R = 1.

Vậy đường tròn (C) có tâm , bán kính R = 1.

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Giả sử I(a; b) ∈ ∆: 3x – y + 10 = 0.

Suy ra 3a – b + 10 = 0

⇔ b = 3a + 10.

Khi đó ta có I(a; 3a + 10)

Suy ra $\overrightarrow{IA}=(-1-a;2-3a-10)=(-1-a;-3a-8)$

Và $\overrightarrow{IB}=(-2-a;3-3a-10)=(-2-a;-3a-7)$

Ta có IA = IB (= R).

⇔ IA$^{2}$ = IB$^{2}$

⇔ (–1 – a)$^{2}$ + (–3a – 8)$^{2}$ = (–2 – a)$^{2}$ + (–3a – 7)$^{2}$

⇔ 1 + 2a + a$^{2}$ + 9a$^{2}$ + 48a + 64 = 4 + 4a + a$^{2}$ + 9a$^{2}$ + 42a + 49

⇔ 4a = –12

⇔ a = –3.

Với a = –3, ta có b = 3a + 10 = 3.(–3) + 10 = 1.

Suy ra I(–3; 1).

Ta có R$^{2}$ = IA$^{2}$ = (–1 – a)$^{2}$ + (–3a – 8)$^{2}$ = [–1 – (–3)]$^{2}$ + [–3.(–3) – 8]$^{2}$ = 5.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 5.

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đã cho có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = m, b = 2(m – 2), c = 6 – m.

Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = m$^{2}$ + 4(m$^{2}$ – 4m + 4) – 6 + m = 5m$^{2}$ – 15m + 10.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0.

Nghĩa là 5m$^{2}$ – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2.

Vậy m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình đã cho có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với , , c = –3.

Suy ra tâm $I(-\frac{5}{2};-\frac{7}{2})$

Trục Ox có phương trình là y = 0.

Ta có $d(I,\text{Ox})=\frac{|-\frac{7}{2}|}{\sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{7}{2}$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Ta có I ∈ d.

Suy ra a + 3b + 8 = 0 ⇔ a = –3b – 8.

Ta có đường tròn (C) đi qua điểm A(–2; 1) nên AI = R (1).

Lại có đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I, ∆) = R (2).

Từ (1), (2), ta suy ra IA = d(I, ∆).

$\Leftrightarrow \sqrt{{(a+2)}^{2}+{(b-1)}^{2}}=\frac{|3a-4b+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(-3b-8+2)}^{2}+{(b-1)}^{2}}=\frac{|3(-3b-8)-4b+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}$

⇔ 25(9b$^{2}$ + 36b + 36 + b$^{2}$ – 2b + 1) = 169b$^{2}$ + 364b + 196

⇔ 81b$^{2}$ + 486b + 729 = 0

⇔ b = –3.

Với b = –3, ta có a = –3b – 8 = –3.(–3) – 8 = 1.

Khi đó ta có I(1; –3).

R = AI = $\sqrt{{(1+2)}^{2}+{(-3-1)}^{2}}=5$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ = 25.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d}=(3;-4)$

Theo đề, ta có ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của d làm vectơ chỉ phương.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_{d}=(3;-4)$

Khi đó ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(4;3)$

Vì vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆: 4x + 3y + c = 0.

Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d(I, ∆) = R.

$\Leftrightarrow \frac{|4.2+3.(-4)+c|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=5$

⇔ |c – 4| = 25

⇔ c – 4 = 25 hoặc c – 4 = –25

⇔ c = 29 hoặc c = –21.

Vậy ∆: 4x + 3y + 29 = 0 hoặc ∆: 4x + 3y – 21 = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = m + 1, b = –2, c = –1.

Ta có R$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (m + 1)$^{2}$ + 4 + 1 = (m + 1)$^{2}$ + 5.

Đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi biểu thức (m + 1)$^{2}$ + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: (m + 1)$^{2}$ ≥ 0, ∀m ∈ ℝ.

⇔ (m + 1)$^{2}$ + 5 ≥ 5, ∀m ∈ ℝ.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (m + 1)$^{2}$ + 5 là 5.

Dấu “=” xảy ra ⇔ m = –1.

Vậy m = –1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Ta viết phương trình d$_{1}$:

Ta có 3$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2.3 – 4.2 + 1 = 0 (đúng).

Do đó điểm M ∈ (C).

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 1.

Suy ra tâm I(1; 2), bán kính R = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-c}=\sqrt{1+4-1}=2$

Phương trình d$_{1}$ là: (1 – 3)(x – 3) + (2 – 2)(y – 2) = 0

⇔ –2(x – 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Tương tự, ta viết phương trình d$_{2}$:

Ta có 1$^{2}$ + 0$^{2}$ – 2.1 – 4.0 + 1 = 0 (đúng).

Do đó N ∈ (C).

Phương trình d$_{2}$ là: (1 – 1)(x – 1) + (2 – 0)(y – 0) = 0

⇔ y = 0.

Gọi A là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:$\{\begin{matrix}x-3=0 \\ y=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=3 \\ y=0\end{matrix}$

Khi đó ta có tọa độ A(3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.