15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Có vô số vectơ khác $\overrightarrow{0}$và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Do đó đường thẳng ∆ có vô số vectơ pháp tuyến.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ chỉ phương của d là một vectơ pháp tuyến.

Suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=\overrightarrow{u}=(3;-4)$

Vậy ta chọn phương án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-\frac{1}{2};3)$

Các vectơ chỉ phương còn lại của đường thẳng ∆ sẽ cùng phương với $\overrightarrow{u}$ .

• Ở phương án A, ta có $\frac{-\frac{1}{2}}{-1}=\frac{3}{6}$ nên ${\overrightarrow{u}}_{1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$

Do đó ${\overrightarrow{u}}_{1}$ cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Ở phương án B, ta có $\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$nên ${\overrightarrow{u}}_{2}$ không cùng phương với .

Do đó ${\overrightarrow{u}}_{2}$ không là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Tương tự, ta có ${\overrightarrow{u}}_{3},\ {\overrightarrow{u}}_{4}$ không là vectơ chỉ phương của ∆.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Với A(4; 0), B(0; 5) ta có: $\overrightarrow{AB}=(-4;5)$

• Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua hai điểm A và B, do đó nhận $\overrightarrow{AB}=(-4;5)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{n}=(5;4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(4; 0), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;4)$ nên có phương trình tổng quát là: 5(x – 4) + 4(y – 0) = 0

⇔ 5x + 4y – 20 = 0 ⇔ 4y = –5x + 20 ⇔ $y=-\frac{5}{4}x+5$

Do đó phương trình ở phương án A không phải phương trình AB.

Đến đây ta có thể chọn phương án A.

• Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(4; 0), B(0; 5) nên có phương trình đoạn chắn của là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$

Do đó phương án B đúng.

• Phương trình đường thẳng AB đi qua hai điểm A(4; 0), B(0; 5) là: $\frac{x-4}{0-4}=\frac{y-0}{5-0}\Leftrightarrow \frac{x-5}{-4}=\frac{y}{5}$

Do đó phương án C đúng.

• Đường thẳng AB đi qua điểm A(4; 0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-4;5)$ nên có phương trình tham số là:

$\{\begin{matrix}x=4-4t \\ y=5t\end{matrix}\ (t\in ℝ)$

Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d):$\{\begin{matrix}x=1-2t \\ y=-3+5t\end{matrix}$

(d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;5)$

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}5{x}_{M}+2{y}_{M}+1=0 \\ 3{x}_{M}-2{y}_{M}-1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{M}=0 \\ {y}_{M}=-\frac{1}{2}\end{matrix}$

Khi đó ta có $M(0;-\frac{1}{2})$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng ∆$_{1}$, ∆$_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_{1}=(11;-12)$, ${\overrightarrow{n}}_{2}=(12;11)$

Ta có ${\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2}=11.12+(-12).11=0$

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_{1}\perp {\overrightarrow{n}}_{2}$

Khi đó ta có ∆$_{1}$ ⊥ ∆$_{2}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$

Do đó đường thẳng AH nhận $\overrightarrow{BC}$làm vectơ pháp tuyến.

Với B(4; 5), C(–3; 2) ta có $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$

Đường thẳng AH đi qua điểm A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AH là:

–7.(x – 2) – 3.(y + 1) = 0

⇔ –7x – 3y + 11 = 0 ⇔ 7x + 3y – 11 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi M là trung điểm của AB với A(–2; 3) và B(4; –1).

Ta suy ra $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{-2+4}{2}=1 \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{3-1}{2}=1\end{matrix}$

Khi đó ta có M(1; 1).

Với A(–2; 3) và B(4; –1) ta có: $\overrightarrow{AB}=(6;-4)$

Đường thẳng d là đường trung trực của AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm M(1; 1) của AB và nhận $\overrightarrow{AB}=(6;-4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình tổng quát của d là:

6(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ 6x – 4y – 2 = 0 ⇔ 3x – 2y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x$_{M}$; y$_{M}$) là điểm cần tìm.

Ta có M ∈ ∆. Suy ra 2x$_{M}$ + y$_{M}$ – 1 = 0 ⇔ y$_{M}$ = 1 – 2x$_{M}$.

Khi đó tọa độ M có dạng: M(x$_{M}$; 1 – 2x$_{M}$).

Theo đề ta có khoảng cách từ M đến (d) bằng 2, tức là d(M, (d)) = 2.

Ta suy ra $\frac{|4{x}_{M}+3(1-2{x}_{M})-10|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=2$

⇔ |–2x$_{M}$ – 7| = 10

⇔ –2x$_{M}$ – 7 = 10 hoặc –2x$_{M}$ – 7 = –10

⇔ –2x$_{M}$ = 17 hoặc –2x$_{M}$ = –3

$\Leftrightarrow {x}_{M}=-\frac{17}{2}hoặc{x}_{M}=\frac{3}{2}$ .

• Với ${x}_{M}=-\frac{17}{2}$ , ta có: y$_{M}$ = 1 – 2x$_{M}$ = 18.

Suy ra tọa độ $M(-\frac{17}{2};18)$

• Với ${x}_{M}=\frac{3}{2}\frac{}{}$ , ta có y$_{M}$ = 1 – 2x$_{M}$ = –2.

Suy ra tọa độ $M(\frac{3}{2};-2)$

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là $M(-\frac{17}{2};18)$ $M(\frac{3}{2};-2)$

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

${Δ}_{1}:\sqrt{3}x-y+7=0$có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}=(\sqrt{3};-1)$

∆$_{2}$: mx + y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}=(m;1)$

Do đó ${\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2}=\sqrt{3}.m+(-1).1=m\sqrt{3}-1$

Theo đề, ta có (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 30° nên ta có: $\cos ({Δ}_{1},{Δ}_{2})=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|m\sqrt{3}-1|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2}+{(-1)}^{2}}.\sqrt{{m}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow |\sqrt{3}.m-1|=\sqrt{3{m}^{2}+3}\ \Leftrightarrow 3{m}^{2}-2\sqrt{3}.m+1=3{m}^{2}+3\ \Leftrightarrow -2\sqrt{3}.m=2\ \Leftrightarrow m=-\frac{2}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\$

Vậy $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

• Điểm M là trung điểm AB với A(2; 3) và B(–4; 5)

Suy ra $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{2-4}{2}=-1 \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{3+5}{2}=4\end{matrix}$

Khi đó ta có M(–1; 4).

• Điểm N là trung điểm AC với A(2; 3) và C(6; –5).

Suy ra $\{\begin{matrix}{x}_{N}=\frac{{x}_{A}+{x}_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=4 \\ {y}_{N}=\frac{{y}_{A}+{y}_{C}}{2}=\frac{3-5}{2}=-1\end{matrix}$

Khi đó ta có N(4; –1).

• Với M(–1; 4) và N(4; –1) ta có:

$\overrightarrow{MN}=(5;-5)\Rightarrow \frac{1}{5}\overrightarrow{MN}=(1;-1)$

Đường thẳng MN đi qua điểm M(–1; 4), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}\overrightarrow{MN}=(1;-1)$

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng MN là $\{\begin{matrix}x=-1+t \\ y=4-t\end{matrix}$

Do đó phương án A đúng.

• Ở phương án B, C, ta có vectơ chỉ phương .

Với $\overrightarrow{u}=(1;-1)$ và $\overrightarrow{a}=(5;5)$ ta có:

1.5 – (–1).5 = 10 ≠ 0.

Do đó $\overrightarrow{a}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng MN.

Vì vậy phương án B, C sai.

• Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{b}=(1;1)$

Với $\overrightarrow{u}=(1;-1)$ và $\overrightarrow{b}=(1;1)$ ta có:

1.1 – (–1).1 = 2 ≠ 0.

Do đó $\overrightarrow{b}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng MN.

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có M ∈ (d).

Suy ra tọa độ M(2 + 3t; 3 + t).

Với A(9; 1) và M(2 + 3t; 3 + t) ta có:

$\overrightarrow{AM}=(2+3t-9;3+t-1)=(3t-7;t+2)$

Theo đề, ta có AM = 5.

⇔ (3t – 7)$^{2}$ + (t + 2)$^{2}$ = 25

⇔ 9t$^{2}$ – 42t + 49 + t$^{2}$ + 4t + 4 = 25

⇔ 10t$^{2}$ – 38t + 28 = 0

⇔ t = 14/5 hoặc t = 1.

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là $M(\frac{52}{5};\frac{29}{5})$ , M(5; 4).

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

(d’) có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}^{'}=(6;8)$

Vì (d) // (d’) nên (d) cũng nhận ${\overrightarrow{n}}^{'}=(6;8)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình (d) có dạng: 6x + 8y + c = 0 (c ≠ –1).

Chọn $A(-\frac{5}{2};2)$ ∈ (d’).

Vì (d) // (d’) nên khoảng cách giữa (d) và (d’) chính là d(A, (d)).

Do đó d(A, (D)) = 2.

⇔ |c + 1| = 20.

⇔ c + 1 = 20 hoặc c + 1 = –20.

⇔ c = 19 (nhận vì 19 ≠ –1) hoặc c = –21 (nhận vì –21 ≠ –1).

Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

6x + 8y + 19 = 0 và 6x + 8y – 21 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

• (d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc k=1/2

Vì vậy phương án A đúng.

• (d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{{n}^{'}}=(1;-2)$

Ta có $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{n}^{'}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

• Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

• (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2)$

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;-2)$

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra $\overrightarrow{u}$ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\overrightarrow{u}}_{AC}={\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến . ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y-1=0 \\ 2x-y+5=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{-4}{3} \\ y=\frac{7}{3}\end{matrix}$

Khi đó ta có $A(\frac{-4}{3};\frac{7}{3})$

Vậy ta chọn phương án A.