15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Dấu của tam thức bậc hai có đáp án

Xét biếu thức f(x) = x$^{2}$ + 2x + 1 có ∆ = 0 và nghiệm là x = – 1; a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Đáp án đúng là D.

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A có f(x) = x + 2 là nhị thức bậc nhất

Xét đáp án B có f(x) = 2x$^{3}$ + 2x$^{2}$ – 1 là biểu thức bậc ba

Xét đáp án C có f(x) = x$^{2}$ – 3x là tam thức bậc hai

Xét đáp án D có f(x) = 2x – 1 là nhị thức bậc nhất

Để f(x) không dương thì x$^{2}$ – 6x + 8 ≤ 0

Xét biểu thức f(x) = x$^{2}$ – 6x + 8 có ∆ = 4 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 2; x = 4 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy để f(x) ≤ 0 thì x $\in$ [2; 4]

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x) = x$^{2}$ + 4x + m + 3 luôn luôn dương $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ + 4x + m + 3 > 0 với mọi x $\in$ℝ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {2^2} - (m + 3) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\m > 1\end{array} \right.$.

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: f(x) = x$^{2}$ – 5x + 6

Xét biểu thức f(x) = x$^{2}$ – 5x + 6 có ∆ = 1 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 2 ; x = 3 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức f(x) = x$^{2}$ – 5x + 6 nhận giá trị âm khi 2 < x < 3.

Vậy đáp án A sai.

Xét đáp án B: f(x) = x$^{2}$ – 16

Xét biểu thức f(x) = x$^{2}$ – 16 có ∆’ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 4 ; x = – 4 ; và a = 1 > 0. Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức f(x) = x$^{2}$ – 16 nhận giá trị âm khi – 4 < x < 4

Vậy đáp án B sai.

Xét đáp án C: f(x) = x$^{2}$ + 2x + 3

Xét biểu thức f(x) = x$^{2}$ + 2x + 3 = 0 có ∆ < 0 $\Leftrightarrow$Phương trình vô nghiệm và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x$^{2}$ – 2x + 3 nhận giá trị dương với mọi x $\in$ℝ

Vậy đáp án C sai.

Xét đáp án D: y = – x$^{2}$ + 5x – 4.

Xét biểu thức f(x) = – x$^{2}$ + 5x – 4 = 0 có ∆ = 9 > 0, hai nhiệm phân biệt là x = 1, x = 4 và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = – x$^{2}$ + 5x – 6 nhận giá trị âm khi $x \in ( - \infty ;1) \cup (4; + \infty )$.

Vậy đáp án D đúng.

Trường hợp 1, m = 0. Khi đó: f(x) = – 1 < 0$\forall x \in \mathbb{R}$. Vậy m = 0 thoả mãn bài toán.

Trường hợp 2, m ≠ 0. Khi đó:

f(x) = mx$^{2}$ – 2mx + m – 1 < 0 $\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {m - 1} \right) < 0\end{array} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) nhận giá trị không dương với mọi x $\Leftrightarrow f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Xét m = 3 ta có f(x) = 5x – 4 với f(x) ≤ 0 thì $x \le \frac{4}{5}$ nên m = 3 không thỏa mãn.

Xét m ≠ 3 ta có $f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m - 3 < 0\\\Delta = {m^2} + 20m - 44 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\{m^2} + 20m - 44 \le 0\end{array} \right.$

Xét m$^{2}$ + 20m – 44 = 0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 22\end{array} \right.$

Ta có bảng xét dấu

Để $f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\ - 22 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 22 \le m \le 2$

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: C

+) Với m = 0 thì f(x) = – x, f(x) > 0 ⇔ – x > 0 ⇔ x < 0. Do đó m = 0 không thỏa mãn.

Ta có để f(x) = mx$^{2}$ – x + m > 0, $\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.m.m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - 4{m^2} < 0\end{array} \right.$

Xét biểu thức g(m) = 1 – 4m$^{2}$ có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = $\frac{1}{2}$, m = $- \frac{1}{2}$ và a = – 4 < 0

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có 1 – 4m$^{2}$ < 0 $\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$;

Vậy để f(x) = mx$^{2}$ – x + m nhận giá trị dươngn , $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức y = – x$^{2}$ – 3x – 4 có ∆ = – 7, và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có tam thức y = – x$^{2}$ – 3x – 4 nhận giá trị âm với mọi x $\in$ ℝ.

Đáp án đúng là: A

Trường hợp 1, m = 0 ta có f(x) < 0 $\Leftrightarrow$ – 2x – 1 < 0 $\Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}$

Do đó m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2, m ≠ 0

Ta có để f(x) < 0 với mọi x $\in$ ℝ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\1 + m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1$.

Đáp án đúng là: D

Để biểu thức f(x) = (m + 2)x$^{2}$ – 3mx + 1 là tam thức bậc hai thì m + 2 ≠ 0 $\Leftrightarrow$ m ≠ – 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = (m$^{2}$ + 2)x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2 luôn nhận giá trị dương $\Leftrightarrow$(m$^{2}$ + 2)x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x $\in$ ℝ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\Delta ^/} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2 > 0\\ - {m^2} - 4m < 0\end{array} \right.$

Vì m$^{2}$ + 2 > 0 với mọi m nên để (m$^{2}$ + 2)x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2 > 0 thì – m$^{2}$ – 4m < 0

Xét f(m) = – m$^{2}$ – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu:

Vậy để – m$^{2}$ – 4m < 0 thì m < – 4 hoặc m > 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) = x$^{2}$ – (m + 2)x + 8m + 1 đổi dấu $2$ lần khi phương trình x$^{2}$ – (m + 2)x + 8m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Vậy ∆ = (– (m + 2))$^{2}$ – 4.1.(8m + 1) > 0 $\Leftrightarrow$ m$^{2}$ – 28m > 0

Xét f(m) = m$^{2}$ – 28m có ∆’ = 196 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = 28 và a = 1 > 0. Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu để m$^{2}$ – 28m > 0 thì m < 0 hoặc m > 28.

Vậy tam thức f(x) đổi dấu 2 lần khi m < 0 hoặc m > 28.

Đáp án đúng là: A

Để f(x) ≥ 0 với mọi x $\in$ ℝ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$

Ta có ∆’ = m$^{2}$ – 3m + 2 ≤ 0

Xét f(m) = m$^{2}$ – 3m + 2 có ∆ = 1 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 1; m = 2 và a = 1 > 0. Ta có bản xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có để m$^{2}$ – 3m + 2 ≤ 0 thì 1 ≤ m ≤ 2.

Vậy với 1 ≤ m ≤ 2 thì f(x) ≥ 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ x = – 1 và x = 3 nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt là x = –1; x = 3 ta loại đáp án C và D.

f(x) nhận giá trị dương trên các khoảng (– ∞; –1) và (3; + ∞); f(x) nhận giá trị âm trên khoảng (–1; 3) ta loại đáp án B.