15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 9 (Thông dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\overrightarrow{a}=(2;-3)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;2)$ ta có:

$2\overrightarrow{a}=(4;-6)$ và $3\overrightarrow{b}=(-3;6)$

Do đó $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(4+3;-6-6)=(7;-12)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi D (a; b).

Khi đó với A(2; 4) và B(4; 5) ta có:

$\overrightarrow{DA}=(2-a;4-b)$ và $\overrightarrow{DB}=(4-a;5-b)$.

$\overrightarrow{DA}=2.\overrightarrow{DB}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2-a=2.(4-a) \\ 4-b=2.(5-b)\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2-a=8-2a \\ 4-b=10-2b\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=6 \\ b=6\end{matrix}$ .

Vậy D(6; 6).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với A(2; 5), B(4; 2) ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3)$.

Gọi D có tọa độ là D(a; b) thì với C(5; 1) ta có $\overrightarrow{CD}=(a-5;b-1)$.

ABDC là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a-5=2 \\ b-1=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=7 \\ b=-2\end{matrix}$

Vậy D(7; ‒2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi H(x; y) là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.

Với A(4; 3), B(2; 7) và C(– 3; –8) và H(x; y) ta có:

$\overrightarrow{AH}=(x-4;y-3);\ \overrightarrow{BC}=(-5;-15);\ \overrightarrow{BH}=(x-2;y-7)$

Từ giả thiết ta có AH ⊥ BC (1) và B, H, C thẳng hàng (2).

$(1)\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow$ –5(x – 4) – 15(y – 3) = 0

$\Leftrightarrow$ x + 3y = 13.

$(2)\Leftrightarrow \overrightarrow{BH},\ \overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{x-2}{-5}=\frac{y-7}{-15}$

$\Leftrightarrow$3(x – 2) = y – 7 $\Leftrightarrow$3x – y = –1

Giải hệ: $\{\begin{matrix}x+3y=13 \\ 3x-y=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=4\end{matrix}$

Vậy H(1; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M đến một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Do đó ta có: $d(M,d)=\frac{|3+4.4-10|}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{17}}$.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M đến một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d bằng $\frac{9}{\sqrt{17}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do B(2; 5) và M(3; 4) là trung điểm của BC nên C = (3.2 – 2; 4.2 – 5) = (4; 3).

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AM}=(2;2),\overrightarrow{AC}=(3;1)$.

Góc giữa 2 đường thẳng AG và AC là góc giữa 2 đường thẳng AM và AC.

Suy ra: $\cos (AG,AC)=|\cos ({\overrightarrow{u}}_{AM},{\overrightarrow{u}}_{AC})|$

=$\frac{|2.3+2.1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}.\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{80}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Suy ra (AG, AC) $\approx$ 26$^{o}$34’.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d: 7x + 2y – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{d}=(7;2)$

Đường thẳng $\Delta$: $\{\begin{matrix}x=4+t \\ y=1-5t\end{matrix}$có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{Δ}=(1;-5)$

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{Δ}=(5;1)$ là một vectơ pháp tuyến của D.

Ta có 7 . 1 – 2 . 5 = –3 ≠ 0 nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{d}$ và ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }$ không cùng phương, do đó hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau.

Lại có 7 . 5 + 2 . 1 = 37 ≠ 0 nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{d}$ và ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }$ không vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d và ∆ không vuông góc với nhau.

Vậy ta chọn phương án C

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 2; 2) và có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{Δ}=(1;-7)$

Do đó ∆ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(7;1)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{d}=(7;1)$.

Thay tọa độ điểm A(– 2; 2) vào phương trình d: 7x + y – 3 = 0 ta có:

7.(–2) + 2 – 3 = –15 ≠ 0.

Do đó đường thẳng d không đi qua điểm A(– 2; 2).

Vậy hai đường thằng d và $\Delta$ song song với nhau.

Khi đó $d(Δ;d)=d(A;d)=\frac{|7.(-2)+2-3|}{\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 4y + 4 = 0 có tâm I(1; 2).

Điểm M nằm trên trục tung nên M(0; y$_{0}$).

Thay x = 0 vào phương trình đường tròn ta được:

0$^{2}$ + y$_{0}$$^{2}$ – 2 . 0 – 4y$_{0}$ + 4 = 0 $\Leftrightarrow$ y$_{0}$$^{2}$ – 4y$_{0}$ + 4 = 0.

$\Leftrightarrow$(y$_{0}$ – 2)$^{2}$ = 0 $\Leftrightarrow$y$_{0}$ – 2 = 0 $\Leftrightarrow$ y$_{0}$ = 2.

Khi đó M(0; 2).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(1; 2) tại điểm M(0; 2) là:

(1 – 0)(x – 0) + (2 – 2)(y – 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $M(\frac{3}{2};2),\ N(\frac{5}{2};\frac{7}{2})$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{AB}=(1;2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$x-\frac{3}{2}+2(y-2)=0\Leftrightarrow 2x+4y-11=0$

Đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\overrightarrow{AC}=(3;5)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$3(x-\frac{5}{2})+5(y-\frac{7}{2})=0\Leftrightarrow 3x+5y-25=0$

Đường thẳng d cắt đường thẳng ∆ cắt nhau tại điểm $I(\frac{45}{2};-\frac{17}{2})$ cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm $I(\frac{45}{2};-\frac{17}{2})$ và bán kính ${R}^{2}=I{A}^{2}={(1-\frac{45}{2})}^{2}+{(1+\frac{17}{2})}^{2}=\frac{1105}{2}$

Ta có ${(\frac{45}{2})}^{2}+{(-\frac{17}{2})}^{2}-\frac{1105}{2}=26$

Khi đó đường tròn (C) có phương trình là:

x$^{2}$ + y$^{2}$ – 45x + 17y + 36 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng d và đường tròn.

Khi đó IM = R và IM là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.

Ta có: d(I, d) = $\frac{|1+2-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra R = IM = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Phương trình đường tròn (I) là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta loại phương án D vì không có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0.

Xét phương án A: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x – 4y + 9 = 0 có a = –1, b = 2 và c = 9.

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (–1)$^{2}$ + 2$^{2}$ – 9 = –4 < 0 nên loại A.

Xét phương án B: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x + 4y + 13 = 0 có a = 3; b = –2 và c = 13

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 3$^{2}$ + (–2)$^{2}$ – 13 = 0 nên loại B.

Xét phương án C: 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ – 8x – 4y + 2 = 0

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 4x – 2y + 1 = 0.

Có a = 2; b = 1 và c = 1.

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 2$^{2}$ + 1$^{2}$ – 1 = 4 > 0 nên chọn C.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\ (a>b>0)$.

Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé nên 2a = 2.2b hay a = 2b.

Elip đi qua điểm M(2; – 2) nên ta có $\frac{{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{(-2)}^{2}}{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{(2b)}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{4{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{{b}^{2}}(\frac{1}{4}+1)=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}:\frac{5}{4}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow {b}^{2}=5$

Vì a = 2b nên a$^{2}$ = 4b$^{2}$ = 20.

Khi đó Elip có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: 2a = 8, 2c = 10 suy ra a = 4, c = 5.

Khi đó b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 5$^{2}$ – 4$^{2}$ = 9.

Phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do F là trung điểm của AB nên F(3; 0).

(P) có tiêu điểm F(3; 0) suy ra $\frac{p}{2}=3$ hay p = 6.

Phương trình chính tắc của (P) là: y$^{2}$ = 2px = 12x.