15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 có đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét f(x) = x$^{2}$ – 4 có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = –2; x = 2 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có f(x) > với mọi x $\in$ (- ∞; - 2) và (2; + ∞); f(x) < 0 khi x $\in$(– 2; 2)

Vậy khẳng định sai là D.

Xét f(x) = x$^{2}$ + 2x – 3 có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 1 ; x = – 3 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có f(x) > với mọi x $\in$ (- ∞; - 3) ∪ (1; + ∞); f(x) < 0 khi x $\in$(– 3; 1).

Vậy f(x) nhận giá trị dương với mọi x $\in$ (- ∞; - 3) ∪ (1; + ∞).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta có

2x – 3 = (x – 3)$^{2}$

$\Rightarrow$2x – 3 = x$^{2}$ – 6x + 9

$\Rightarrow$ x$^{2}$ – 8x + 12 = 0

$\Rightarrow$ x = 2 hoặc x = 6

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình, ta thấy x = 6 thoả mãn

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình ta có

x$^{2}$ – 3x = 2x – 4

$\Rightarrow$ x$^{2}$ – 5x + 4 = 0

$\Rightarrow$ x = 1 hoặc x = 4

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình, ta thấy x = 4 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

Đáp án đúng là: A

Trường hợp 1. m = 0. Khi đó f(x) = – 2x – 1 ≤ 0 $\Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}$

Vậy m = 0 không thỏa mãn f(x) ≤ 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 2. m ≠ 0.

Khi đó: f(x) = mx$^{2}$ – 2x – 1 < 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = 1 + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1$

Vậy m ≤ – 1 thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: C

$${x^2} - 2x + 3\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = 7 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + 3\sqrt {{x^2} - 2x - 3} - 4 = 0$$

Đặt $\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = t(t \ge 0)$ ta có phương trình t$^{2}$ + 3t – 4 =0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 4\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện của t ta có t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 $\Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 5 \\x = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.$

Thay lần lượt các nghiệm vào phương trình ta có $x = 1 + \sqrt 5 ;x = 1 - \sqrt 5$ đều thỏa mãn

Vậy tích các nghiệm của phương trình S = – 4.

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta có

x – 2 + x + 3 + 2$\sqrt {(x - 2)(x + 3)}$ = 25

$\Rightarrow$ $\sqrt {{x^2} + x - 6}$ = 12 – x(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có

x$^{2}$ + x – 6 = (12 – x)$^{2}$

$\Rightarrow$ x$^{2}$ + x – 6 = x$^{2}$ – 24x + 144

$\Rightarrow$ 25x – 150 = 0

$\Rightarrow$ x = 6

Thay nghiệm trên vào phương trình ta thấy x = 6 thoả mãn

Vậy nghiệm của phương trình thuộc khoảng (3; 7)

Đáp án đúng là: A

Xét f(x) = 2x$^{2}$ – 7x – 15 có ∆ = 169 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 5; x = $- \frac{3}{2}$ và a = 2 > 0

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có f(x) không âm khi x $\in$ $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có (m$^{2}$ + 2)x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x $\in$ ℝ$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\Delta ^/} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2 > 0\\ - {m^2} - 4m < 0\end{array} \right.$

Ta có m$^{2}$ + 2 > 0 với mọi m nên để (m$^{2}$ + 2)x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x $\in$ ℝ thì – m$^{2}$ – 4m < 0

Xét f(m) = – m$^{2}$ – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu

Vậy để f(m) < 0 khi m < – 4 hoặc m > 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{2}$ + 3mx$^{2}$ + 4mx + 4 ≥ 0

$\Leftrightarrow$ (1 + 3m)x$^{2}$ + 4mx + 4 ≥ 0

Với 1 + 3m = 0 thì m = $- \frac{1}{3}$ thì bất phương trình trở thành $- \frac{4}{3}$x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Vậy m = $- \frac{1}{3}$ không thỏa mãn.

Với 1 + 3m ≠ 0 thì m ≠ $- \frac{1}{3}$

Để bất phương trình (1 + 3m)x$^{2}$ + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x $\in$ ℝ thì

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 3m > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{1}{3}\\4{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right.$

Xét f(m) = 4m$^{2}$ – 12m – 4 có ∆ = 208 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = $\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}$ ; x = $\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}$ và a = 4 > 0

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có để f(m) ≤ 0 thì $\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}$≤ m ≤ $\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}$

Kết hợp với điều kiện của m để (1 + 3m)x$^{2}$ + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x $\in$ ℝ thì $\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}$≤ m ≤ $\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}$

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để bất phương trình (1 + 3m)x$^{2}$ + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Đáp án đúng là: C

Để bất phương trình x$^{2}$ + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 có nghiệm với mọi x $\in$ ℝ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\{(m - 2)^2} - 2m + 1 < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\{m^2} - 6m + 5 < 0\end{array} \right.$

Xét f(m) = m$^{2}$ – 6m + 5 có ∆ = 16 > 0 hai nghiệm phân biệt là m = 1 ; m = 5 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Suy ra để f(m) < 0 thì 1 < m < 5.

Vậy với 1 < m < 5 thì bất phương trình x$^{2}$ + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 có nghiệm với mọi x $\in$ ℝ.

Đáp án đúng là: C

Ta có 4x$^{2}$ – 12x + 5$\sqrt {4{x^2} - 12x}$ = 0

Đặt $\sqrt {4{x^2} - 12x}$= t (t ≥ 0)

Phương trình (1) trở thành t$^{2}$ + 5t = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 5\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện t = 0 thoả mãn

Với t = 0 ta có $\sqrt {4{x^2} - 12x}$= 0

$\Rightarrow$ 4x$^{2}$ – 12x = 0

$\Rightarrow$ x = 0 hoặc x = 3

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 0 và x = 3 thoả mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{2}$ + 2$\sqrt {{x^2} - 3x + 11}$ = 3x + 4 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ – 3x + 11 + 2$\sqrt {{x^2} - 3x + 11}$ – 15 = 0

Đặt $\sqrt {{x^2} - 3x + 11}$ = t (t ≥ 0)

Phương trình trở thành t$^{2}$ + 2t – 15 = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 5\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn

Với t = 3 ta có $\sqrt {{x^2} - 3x + 11}$ = 3

$\Rightarrow$ x$^{2}$ – 3x + 11 = 9

$\Rightarrow$ x$^{2}$ – 3x + 2 = 0

$\Rightarrow$ x = 2 hoặc x = 1

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 1 và x = 2 thoả mãn

Tích các nghiệm của phương trình là 1.2 = 2

Đáp án đúng là: C

Đặt $\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} = t$ (t > 0) $\Leftrightarrow$ x + 3 + 6 – x + $2\sqrt {(x + 3)(6 - x)}$ = t$^{2}$

Ta có $\sqrt {(x + 3)(6 - x)} = \frac{{{t^2} - 9}}{2}$

Phương trình (*) trở thành t = 3 + $\frac{{{t^2} - 9}}{2}$

$\Leftrightarrow$ t$^{2}$ – 2t – 3 = 0

$\Leftrightarrow$ t = – 1 hặc t = 3

Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn

Với t = 3 ta có $\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} = 3$

$\Rightarrow$ x + 3 + 6 – x + $2\sqrt {(x + 3)(6 - x)}$ = 9

$\Rightarrow$$\sqrt {(x + 3)(6 - x)}$= 0

$\Rightarrow$ – x$^{2}$ + 3x + 18 = 0

$\Rightarrow$x = 6 hoặc x = – 3

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 6 và x = – 3 thoả mãn

Tổng các nghiệm của phương trình là 6 + (– 3) = 3.

Đáp án đúng là: C

$\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = 4x - 9 + 2\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$(*)

Đặt $\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = t(t > 0)$

$\Leftrightarrow$ 3x – 2 + x – 1 + 2$\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$ = t$^{2}$

$\Leftrightarrow$ 4x – 3 + 2$\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$ = t$^{2}$

$\Leftrightarrow$ 4x – 9 + 2$\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$= t$^{2}$ – 6

Phương trình (*) trở thành t = t$^{2}$ – 6

$\Rightarrow$ t$^{2}$ – t – 6 = 0

$\Rightarrow$ t = 3 hoặc t = – 2.

Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn

Với t = 3 ta có $\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = 3$

$\Rightarrow$ 4x – 3 + 2$\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$= 9

$\Rightarrow$ $\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}$= – 2x + 6

$\Rightarrow$ 3x$^{2}$ – 5x + 2 = (6 – 2x)$^{2}$

$\Rightarrow$ 3x$^{2}$ – 5x + 2 = 4x$^{2}$ – 24x + 36

$\Rightarrow$ x$^{2}$ – 19x + 34 = 0

$\Rightarrow$ x$_{1}$ = 17 hoặc x$_{2}$ = 2

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình (*), ta thấy x$_{2}$ = 2 thoả mãn

Giá trị của biểu thức A = 2$^{2}$ – 3.2 + 15 = 13.