15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ . Định lý cosin và sin trong tam giác có đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có: $\cos \widehat{A}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB.AC}=\frac{{5}^{2}+{8}^{2}-{7}^{2}}{2.5.8}=\frac{1}{2}$.

Do đó, $\widehat{A}=60^{\circ}$.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B{C}^{2}=A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB.AC.\cos \widehat{A}={2}^{2}+{1}^{2}-2.2.1.\cos 60^{\circ}=3\Rightarrow BC=\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $ΔABC$.

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC$. Mà MN = 3, suy ra AC = 6.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2.AC.BC.\cos \widehat{ACB}$

$\Leftrightarrow {9}^{2}={6}^{2}+B{C}^{2}-2.6.BC.\cos 60^{\circ}$

$\Leftrightarrow B{C}^{2}$- 6.BC - 45 = 0

$\Leftrightarrow$BC = 3 + 3$\sqrt{6}$

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2.AC.BC.\cos \widehat{C}$

$\Rightarrow {(\sqrt{2})}^{2}={(\sqrt{3})}^{2}+B{C}^{2}-2.\sqrt{3}.BC.\cos 45^{\circ}$

$\Leftrightarrow B{C}^{2}$- $\sqrt{6}$.BC + 1 = 0

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{AB}{\sin \widehat{C}}=\frac{AC}{\sin \widehat{B}}\Leftrightarrow \frac{5}{\sin 45^{\circ}}=\frac{AC}{\sin 60^{\circ}}\Rightarrow AC=\frac{5\sqrt{6}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{ABC}=120^{\circ}$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{C}^{2}=A{B}^{2}+B{C}^{2}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow {1}^{2}+{1}^{2}-2.1.1.\cos 120^{\circ}=3\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có : $\cos B=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{4}^{2}+{6}^{2}-{(2\sqrt{7})}^{2}}{2.4.6}=\frac{1}{2}$.

Do $MC=2MB\Rightarrow BM=\frac{1}{3}BC=2$. Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{M}^{2}=A{B}^{2}+B{M}^{2}-2.AB.BM.\cos \widehat{B}$

$\Rightarrow {4}^{2}+{2}^{2}-2.4.2.\frac{1}{2}=12\Rightarrow AM=2\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAD}=60^{\circ}$

$\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=45^{\circ}$

Trong $ΔABD$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ},\ \widehat{ABD}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ADB}=75^{\circ}$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Cosin, ta có $B{C}^{2}=A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$={3}^{2}+{6}^{2}-2.3.6.cos{60}^{0}=27\Leftrightarrow B{C}^{2}=27\Leftrightarrow B{C}^{2}+A{B}^{2}=A{C}^{2}.$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính $R=\frac{AC}{2}=3.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat{MPE}=\widehat{EPF}=\widehat{FPQ}=\frac{\widehat{MPQ}}{3}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{MPF}=\widehat{EPQ}=60^{\circ}$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$M{E}^{2}=M{P}^{2}+P{E}^{2}-2.MP.PE.\cos \widehat{MPE}$

$\Rightarrow {q}^{2}+{x}^{2}-2qx.\cos 30^{\circ}={q}^{2}+{x}^{2}-qx\sqrt{3}$

$M{F}^{2}=M{P}^{2}+P{F}^{2}-2MP.PF.\cos \widehat{MPF}$

$\Rightarrow {q}^{2}+{y}^{2}-2qy.\cos 60^{\circ}={q}^{2}+{y}^{2}-qy$

$M{Q}^{2}=M{P}^{2}+P{Q}^{2}={q}^{2}+{m}^{2}$

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\Leftrightarrow OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 30^{\circ}}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi

$\sin \widehat{OAB}=1\Leftrightarrow \widehat{OAB}=90^{\circ}$.

Khi đó OB = 2.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm sin, ta có: $\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\Leftrightarrow OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 30^{\circ}}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi: $\sin \widehat{OAB}=1\Leftrightarrow \widehat{OAB}=90^{\circ}$.

Khi đó OB = 2. Tam giác OAB vuông tại $A\Rightarrow OA=\sqrt{O{B}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có: $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$.

Mà $b({b}^{2}-{a}^{2})=c({a}^{2}-{c}^{2})$ $\Leftrightarrow {b}^{3}-{a}^{2}b={a}^{2}c-{c}^{3}$

$\Leftrightarrow -{a}^{2}(b+c)+({b}^{3}+{c}^{3})=0$

$\Leftrightarrow (b+c)({b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}-bc)=0$

$\Leftrightarrow {b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}-bc=0$ (do $b>0,\ c>0$)

$\Leftrightarrow {b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=bc$

Khi đó, $\cos \widehat{BAC}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$.

Do AD là phân giác trong của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow BD=\frac{AB}{AC}.DC=\frac{c}{b}.DC=\frac{c}{b+c}.BC=\frac{c\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{b+c}$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B{D}^{2}=A{B}^{2}+A{D}^{2}-2.AB.AD.\cos \widehat{ABD}$

$\Leftrightarrow \frac{{c}^{2}({b}^{2}+{c}^{2})}{{(b+c)}^{2}}={c}^{2}+A{D}^{2}-2c.AD.\cos 45^{\circ}$

$\Rightarrow A{D}^{2}-c\sqrt{2}.AD+({c}^{2}-\frac{{c}^{2}({b}^{2}+{c}^{2})}{{(b+c)}^{2}})=0$

$\Leftrightarrow A{D}^{2}-c\sqrt{2}.AD+\frac{2b{c}^{3}}{{(b+c)}^{2}}=0$

$\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$ hay $m=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2.\sin \widehat{A}}=\frac{10}{2.\sin {30}^{0}}=10.$