15 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia có đáp án

Tính:

a) $\sqrt {1{,}2.270} ;\quad \sqrt {55.77.35}$.

b) ${(\sqrt 3 - \sqrt 2 )^2};\,\,\,\,\,\,(3\sqrt 2 - 1)(3\sqrt 2 + 1);\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\sqrt 6 + 2)(\sqrt 3 - \sqrt 2 )$

c) $\left( {\sqrt {\frac{8}{3}} - \sqrt {24} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} } \right) \cdot \sqrt 6 ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2}$

Thực hiện phép tính

a) $\sqrt {\frac{1}{8}} \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt {125} \cdot \sqrt {\frac{1}{5}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\sqrt 2 - 1} \cdot \sqrt {\sqrt 2 + 1}$.

b) $\sqrt {{{(\sqrt 2 - 3)}^2}} \cdot \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{{(\sqrt 3 - 3)}^2}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}}$.

$c)\, - \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{{(a - b)}^2}{b^5}}}{c}} \cdot \frac{9}{4}\sqrt {\frac{{{c^3}}}{{2(a - b)}}} \sqrt {98b}$

d) $\left( {\sqrt 6 - 3\sqrt 3 + 5\sqrt 2 - \frac{1}{2}\sqrt 1 } \right)2\sqrt 6$

e) $\left( {\sqrt {ab} + 2\sqrt {\frac{b}{a}} - \sqrt {\frac{a}{b} + \sqrt {\frac{1}{{ab}}} } } \right)\sqrt {ab}$.

g) $\left( {\frac{{am}}{b}\sqrt {\frac{n}{m}} - \frac{{ab}}{n}\sqrt {mn} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{m}{n}} } \right){a^2}{b^2} \cdot \sqrt {\frac{n}{m}}$.

Rút gọn rồi tính

a) $\sqrt {{{21{,}8}^2} - {{18{,}2}^2}} ;$ b) $\sqrt {{{6{,}8}^2} - {{3{,}2}^2}} ;$ c) $\sqrt {{{146{,}5}^2} - {{109.5}^2} + 27 \cdot 256}$

Rút gọn biểu thức

a) $\frac{{\sqrt {15} - \sqrt 6 }}{{\sqrt {35} - \sqrt {14} }}$; b) $\frac{{\sqrt {10} + \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 + \sqrt {12} }}$

c) $\frac{{x + \sqrt {xy} }}{{y + \sqrt {xy} }}$ d) $\frac{{\sqrt a + a\sqrt b - \sqrt b - b\sqrt a }}{{ab - 1}}$

e) $\frac{{2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} + \sqrt 6 - 3}}{{2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} - \sqrt 3 + \sqrt 6 }}$ f) $\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$

Rút gọn biểu thức

a) $\sqrt {9{{(3 - a)}^2}}$ với $a > 3$; b) $\sqrt {{a^2}{{(a - 2)}^2}}$ với $a < 0$.

Chứng minh đẳng thức

a) $\sqrt {9 - \sqrt {17} } \cdot \sqrt {9 + \sqrt {17} } = 8$; b) $\left( {\frac{1}{{5 - 2\sqrt 6 }} + \frac{2}{{5 + 2\sqrt 6 }}} \right)\left( {15 + 2\sqrt 6 } \right) = 201$

Tìm $x$ biết

a) $\sqrt {9x} = 15$; b) $\sqrt {4{x^2}} = 8$ c) $\sqrt {4(x + 1)} = \sqrt 8$;

d) $\sqrt {9{{(2 - 3x)}^2}} = 6:$ e) $\sqrt {{x^2} - 4} - \sqrt {x - 2} = 0$.

Cho $a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0$. Chứng minh rằng:

a) $\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$ (bất đẳng thức Cauchy);

b) $a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca}$;

c) $a + b + \frac{1}{2} \ge \sqrt a + \sqrt b$.

Tính

a)$\sqrt {2\frac{7}{{81}}}$ và $\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {150} }};$ b) $\left( {5\sqrt 7 + 7\sqrt 5 } \right):\sqrt {35} ;\,$ c) $\left( {2\sqrt 8 - 3\sqrt 3 + 1} \right):\sqrt 6 .$

Rút gọn biểu thức

a) $\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2};$

b) $\,\,\sqrt {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} ,\,\,\left( {x \ge 0} \right)$

c)$\,\frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} ,\,\,\left( {x \ne 1,y \ne 1,y > 0} \right)$.

Rút gọn và tính:

a) $A = \frac{{\sqrt {a - 2\sqrt {ab} + b} }}{{\sqrt {\sqrt a - \sqrt b } }}$ (với $a > b > 0$) tại $a = 36;\,b = 25.$

b)$B = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x + \sqrt 3 } }}:\frac{{\sqrt {\sqrt x - \sqrt 3 } }}{{\sqrt x }}$ (với $x > 3$) tại $x = 81.$

c) $C = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}}\,\,\,\,(x < 4)$, tại $x = 3.$

d) $M = 3x - \sqrt {27} + \frac{{\sqrt {{x^3} + 3{x^2}} }}{{\sqrt {x + 3} }}\,\,\,(x \ge 0)$, tại $x = \sqrt 3 .$

Giải phương trình

a) $\sqrt {\frac{{4x - 1}}{{x + 1}}} = 3$; b) $\frac{{\sqrt {4x - 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 3$;

c) $\sqrt {49x - 98} - 14\sqrt {\frac{{x - 2}}{{49}}} = 3\sqrt {x - 2} + 8$; d) $\sqrt {25x - 25} - \frac{{15}}{2}\sqrt {\frac{{x - 1}}{9}} = 6 + \sqrt {x - 1}$.

a) Cho $a > 0.$ Chứng minh $a + \frac{1}{a} \ge 2;$

b) Cho $a \ge 0,\;b \ge 0.$ Chứng minh $\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2};$

c) Cho $a,b > 0.$ Chứng minh $\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }};$

d) Chứng minh $\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2$ với mọi $x.$