14 Bài tập Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù) (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$$\Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Từ đó ta có: sinC = 2sinBcosA

$\Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

$\Leftrightarrow {c^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2} \Rightarrow a = b$.

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Từ a$^{2}$ < b$^{2}$ + c$^{2}$ ⇔ b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ > 0 ⇔ cos A > 0 ⇔ Góc A là góc nhọn.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Từ a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ ⇔ b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ = 0 ⇔ cos A = 0 ⇔ Góc A là góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Từ a$^{2}$ > b$^{2}$ + c$^{2}$ ⇔ b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ < 0 ⇔ cos A < 0 ⇔ Góc A là góc tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

$\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0$

Do đó góc C là góc tù.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C$

${c^2} = {8^2} + {11^2} - 2.8.11.\cos 30^\circ = 185 - 88\sqrt 3$$\Rightarrow c \approx 5{,}71$.

Ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{11}^2} + {{5{,}71}^2} - {8^2}}}{{2.11.5{,}71}} \approx 0{,}71$.

$\Rightarrow \widehat A \approx 44{,}5^\circ$.

Do đó: $\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 105{,}5^\circ$.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cách 1: Dễ thấy ${c^2} = {a^2} + {b^2}\left( {{{15}^2} = {9^2} + {{12}^2}} \right)$

Do đó theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại C.

Cách 2: Theo định lý côsin ta có: $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 0$.

Do đó: $\widehat C = 90^\circ$.

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B$

${b^2} = {10^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} - 2.10.5\sqrt 3 .\cos 30^\circ = 25$

⇒ b = 5.

Nhận thấy ${5^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} = 100 = {10^2}$ hay b$^{2}$ + c$^{2}$ = a$^{2}$.

Theo định lý Pythagore đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo hệ quả của định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Do đó:

Nếu b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ > 0 thì cos A > 0. Do đó góc A là góc nhọn.

Nếu b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ < 0 thì cos A < 0. Do đó góc A là góc tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}} = \frac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra: $\widehat A = 60^\circ$ hoặc $\widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ mà $\widehat B = 60^\circ$ nên $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ$ (loại trường hợp $\widehat A = 120^\circ$ do không thỏa mãn định lí tổng 3 góc trong tam giác).

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R$$\Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{b}{a}$.

Lại có: $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$ (hệ quả định lí côsin).

Để $\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C$ $\Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$

$\Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow a = c$.

Do đó tam giác ABC cân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$; $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$

Ta có: $\frac{a}{{\cos A}} = \frac{{2abc}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}$; $\frac{b}{{\cos B}} = \frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}$

Để $\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}$$\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} \Leftrightarrow a = b$

Do đó tam giác ABC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Nửa chu vi tam giác p = $\frac{1}{2}$(a + b + c).

Ta có: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$.

Lại có: S = p(p – a)

Suy ra: p(p – a) = $\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {p\left( {p - a} \right)} = \sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

$\Leftrightarrow {p^2} - pa = {p^2} - pb - pc + bc$

$\Leftrightarrow p\left( {b + c - a} \right) - bc = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right) - bc = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right] - bc = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {a^2}} \right) - bc = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{2}{c^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}.2bc - bc = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}$.

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC nên a, b, c > 0 $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ab > 0}\\{ac > 0}\\{bc > 0}\end{array}} \right.$ (1)

a$^{2}$, b$^{2}$, c$^{2}$ là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{a^2} + {b^2} - {c^2} > 0}\\{{b^2} + {c^2} - {a^2} > 0}\\{{a^2} + {c^2} - {b^2} > 0}\end{array}} \right.$ (2)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A}\\{{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C}\end{array}} \right.$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}} \right.$(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra cos A > 0 (vì bc > 0; b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ > 0)

cos B > 0 (vì ac > 0; a$^{2}$ + c$^{2}$ – b$^{2}$ > 0); cos C > 0 (vì ab > 0; a$^{2}$ + b$^{2}$ – c$^{2}$ > 0).

Vì cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 $\Rightarrow \widehat A,\,\,\,\widehat B,\,\,\,\widehat C$ là ba góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.