13 bài tập Xác suất của biến cố (có lời giải)

Ta có bảng sau:

Gọi $E$ là biến cố “cây con có hạt vàng nhăn”. Ta có: $E = \left\{ {\left( {AA,bb} \right);\left( {Aa;bb} \right)} \right\}$.

Có hai kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.

$\Omega = \left\{ {\left( {AA,BB} \right);\left( {AA,Bb} \right);\left( {AA;bB} \right);\left( {AA,bb} \right);\left( {Aa,BB} \right);\left( {Aa,Bb} \right);\left( {Aa;bB} \right);\left( {Aa,bb} \right)} \right\}$

Vậy${\rm{ }}P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$

***Hướng dẫn:* **Viết tập hợp $\Omega$ và các tập hợp $E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G$.

Lời giải

Ta có bảng sau:

$\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {{\rm{3}};2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right)} \right\}$

Số phần tử của $\Omega$ là $15;n\left( \Omega \right) = 15$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là:$E = \left\{ {\left( {3;2} \right);\left( {2;3} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{15}}$

Ta có: $F = \left\{ {\left\{ {(1;1);(1;2);(2;1);(1;3);(3;1);(2;2);(4;1)} \right\}} \right\}$$\Rightarrow P\left( {\;F} \right) = \frac{7}{{15}}$

Ta có: ${\rm{G}} = \left\{ {(1;2);(2;1);(2;2);(2;3);(3;2);(4;1);(4;2);(4;3);(5;2)} \right\}$.

Tập hợp $G$ có 9 phần tử. Vậy $P\left( G \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}{\rm{. }}$

Ta có:$\Omega = \{ 22;24;29;42;44;49;92;94;99\}$. Số phần tử của $\Omega$ là 9.

a) Ta có: $A = \left\{ {24;44;92} \right\}$. Tập hợp $A$ có 3 phần tử. Vậy $P\left( A \right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

b) Ta có: $B = \left\{ {29} \right\}$. Tập hợp $B$ có 1 phần tử. Vậy$P\;\left( B \right) = \frac{1}{9}.$

Hướng dẫn: Viết tập hợp các phần tử của không gian mẫu bằng cách liệt kê các kết quả.

Lời giải

Kí hiệu ba bạn An, Bình, Châu là $A,B,C$. Có các cách xếp ba bạn vào dãy ghế:

$\left( {A,B,C} \right);\left( {A,C,B} \right);\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)$.

Vậy $\Omega = \left\{ {\left( {A,B,C} \right);\left( {A,C,B} \right);\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)} \right\}$. Số phần tử của $\Omega$ là 6.

a) Ta có: $E = \left\{ {\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)} \right\}$. Vậy $P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

b) Ta có: $F = \left\{ {\left( {B,A,C} \right);\left( {C,A,B} \right)} \right\}$. Vậy $P\left( F \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn: Xem Ví dụ 7. Số phần tử của tập hợp $\Omega$ là 6 .

Lời giải

Ta có: $\Omega =${Hùng - Dũng; Hùng - Dung; Hùng - Nguyệt; Dũng - Dung; Dũng - Nguyệt; Dung - Nguyệt}.

${\rm{E}} =${Hùng - Dung; Hùng - Nguyệt; Dũng - Dung; Dũng - Nguyệt$\}$. Vậy $P\left( E \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ta có: ${\rm{F}} =${Hùng - Dung; Dũng - Dung; Dung - Nguyệt$\}$. Vậy $P\left( F \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

a) Kí hiệu quả cầu đen, trắng thứ tự là Đ, T.

Ta có bảng sau:

Không gian mẫu có 6 phần tử.

b) Ta có: . Vậy $P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$F = \left\{ {\left( {{\rm{T}};{\rm{B}}} \right);\left( {{\rm{T}};{\rm{C}}} \right)} \right\}.{\rm{ }}$Vậy $P\;\left( F \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

a) Kí hiệu $T$ là màu trắng, là màu đỏ và $V$là màu vàng.

Không gian mẫu . Số kết quả có thể xảy ra là $n\left( \Omega \right) = 4$

b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên 4 kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.

Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố A là nên $n\left( A \right) = 1$.

Xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}$.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là $\left( {{\rm{T}},{\rm{B}}} \right)$ và $\left( {B,V} \right)$ nên $n\left( B \right) = 2$.

Xác suất của biến cố B là $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

***Hướng dẫn:* **Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và các phần tử của tập hợp $E$ , tập hợp $F$.

Lời giải

a) Ta có bảng sau:

$\Omega = \left\{ {(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4)} \right\}.$

Số phần tử của $\Omega$ là $16;n\left( \Omega \right) = 16$

Ta có $E = \left\{ {\left( {1;4} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;2} \right);\left( {4;1} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( E \right) = 4 \Rightarrow P\left( E \right) = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}$

b) Ta có: $F = \left\{ {(1;4);(2;2);(4;1)} \right\} \Rightarrow n\;\left( F \right) = 3 \Rightarrow P\;\left( F \right) = \frac{3}{{16}}$.

Ta có bảng sau:

Ta có: $n\left( \Omega \right) = 16$.

Lời giải

a) Ta có: $A = \left\{ {(1;1);(1;3);(3;1);(3;3)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 4$. Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}$.

b) Ta có: $B = \left\{ {(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(3;1)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 5$. Vậy $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{16}}$.

Nhận xét: Em hãy tính $P\left( C \right)$, với C là biến cố: “Kết quả là một số chẵn”.

Đáp số: $P\left( C \right) = \frac{3}{4}$.

***Hướng dẫn:* **Chọn hai bông không phân biệt thứ tự như Ví dụ 12 , ta lập một tập con của tập hợp 4 phần tử.

Kí hiệu các phần tử đã cho là và $V$ thứ tự là ba bông hoa màu đỏ và một bông hoa màu vàng.

Lời giải

a) Kí hiệu và $V$thứ tự là ba bông hoa màu đỏ và một bông hoa màu vàng.

Chọn ngẫu nhiên hai bông, ta có tập hợp $A$ gồm các phần tử sau:

b) Ta có: $R=\{(Ð1;V);(Ð2;V);(Ð3;V)\}\Rightarrow n(R)=3$.

Theo câu a), ta có: $n\left( \Omega \right) = 6$. Vậy $P\left( R \right) = \frac{{n\left( R \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.{\rm{ }}$

Tập hợp $T = \Omega$. Vậy $P\left( T \right) = 1$.

Gọi $n$ là số quả bóng màu trắng có trong hộp. Số cách chọn ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp là $n + 5$.

Do các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các quả bóng có cùng khả năng được chọn.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là 5 nên xác suất của biến cố này là $\frac{5}{{n + 5}}$.

Theo giả thiết, ta có: $\frac{5}{{n + 5}} = 0{,}25$ hay $n + 5 = 20$, ta được $n = 15$. Vậy có 15 quả bóng màu trắng trong hộp.

Gọi $n$ là số viên bi đỏ trong hộp. Ta có: $n\left( A \right) = n \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{n}{{20}}$.

Theo giả thiết, ta có: $\frac{n}{{20}} = 0{,}6 \Rightarrow n = 12$. Vậy có 12 viên bi màu đỏ và 8 viên bi màu xanh.

Tổng số học sinh: $\left( {3 + 4} \right) + \left( {8 + 5} \right) + \left( {6 + 4} \right) + \left( {9 + 7} \right) = 46$. Ta có: $n\left( \Omega \right) = 46$.

a) $A$: “Lấy được một học sinh nữ lớp 9” $\Rightarrow n\left( A \right) = 7 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{46}}$.

b) $B$: “Lấy được một học sinh lớp 6” $\Rightarrow {\rm{n}}\left( {\rm{B}} \right) = 3 + 4 = 7$$\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{46}}$

c) $C:$ “Lấy được môt học sinh nam lóp 7 hoặc lớp 8”

$\Rightarrow n\left( C \right) = 8 + 6 = 14 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{14}}{{46}} = \frac{7}{{23}}$