13 bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (có lời giải)

a) Đặt $R = 3cm,\,R' = 3cm$

Ta có: $3 - 3 < 5 < 3 + 3$ nên $R - R' < OO' < R + R'$ hay $0 < 5 < 6$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,3cm)$và$(O';\,\,3cm)$ cắt nhau.

b) Đặt $R = 3cm,\,R' = 1cm$

Ta có: $5 > 3 + 1$ nên $OO' > R + R'$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,3cm)$và $(O';\,\,1cm)$ ở ngoài nhau.

c) Đặt $R = 3cm,\,R' = 8cm$

Ta có: $5 = 8 - 3$ hay $OO' = R' - R$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,3cm)$và $(O';\,\,\,8cm)$ tiếp xúc nhau.

a) Ta có: $12 > 5 + 3$ hay $OO' > RR'.$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,R)$và$(O';\,\,R')$ ở ngoài nhau.

b) Ta có: $8 = 5 + 3$ hay $OO' = RR'.$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,R)$và$(O';\,\,R')$ tiếp xúc ngoài.

c) Ta có: $5 - 3 < 7 < 5 + 3$ hay $R - R' < OO' < R + R'.$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,R)$và$(O';\,\,R')$ cắt nhau.

d) Ta có: $0 < 5 - 4$ hay $OO' < R - R'.$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,R)$đựng đường tròn$(O';\,\,R')$.

e) Ta có: $3 = 7 - 4$ hay $OO' = R' - R.$

Do đó hai đường tròn $(O;\,\,R)$và$(O';\,\,R')$ tiếp xúc trong.

Đặt $R = 8cm,\,R' = 5cm$

Ta có: $3cm = 8cm - 5cm$hay $OO' = R - R'$

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.

Đặt $R = 3cm,\,R' = 2cm$

Ta có: $OO' = 5 > R + R'$

Do đó hai đường tròn $(O;\,3cm)$và $(O';\,2cm)$ hai đường tròn ở ngoài nhau.

Đặt $R = 8cm$ và đường tròn tâm $O'$có bán kính $r\, < \,3cm$.

Ta có: $OO' = 2 < 5 - r$ (vì $r\, < \,3cm$)

Do đó đường tròn $(O;\,5cm)$ đựng đường tròn $(O';\,r)$ khi $r\, < \,3cm$.

Gọi bán kính đường tròn $(O)$là $R.$

Ta có: $OA = OB = R$ hay tam giác$AOB$ cân tại $O$ $\, \Rightarrow \,\widehat B = \widehat {{A_1}}.$

Tương tự, ta có tam giác$AOC$ cân tại $O\,' \Rightarrow \,\widehat C = \widehat {{A_2}}$ mà $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (đối đỉnh)

Do đó $\,\widehat B = \widehat C$ $\Rightarrow$ $OB\,{\rm{//}}\,O'C$ (cặp góc so le trong bằng nhau).

a) Ta có ba điểm $A,\,O',\,O$ thẳng hàng và $OO' = OA - O'A\,\,(d = R - R')$

Chứng tỏ $(O)$ và $(O')$tiếp xúc trong tại $A.$

b) Ta có $\Delta AO'D$cân (vì $O'A = O'D = R'$) $\Rightarrow \,\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\,\,\,(1)$

Tương tự $\Delta AOC$ cân $\Rightarrow \,\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\,$$\Rightarrow \,O'D{\rm{//}}OC$ (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Chú ý: Các bạn có thể giải thêm câu c) sau đây:

Chứng minh $D$ là trung điểm của $AC$ và $OD$song song với $BC$.

Hướng dẫn: $D$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AO$nên $\widehat {ADO} = {90^0}$. Khi đó $D$ là trung điểm của $AC$(định lí đường kính dây cung) ta chứng minh $OD$là đường trung bình của $\Delta AOC$để suy ra $OD\,{\rm{//}}\,BC$.

a) Ta có : $OO' = OA + O'A\,(d = R + R')$

Chứng tỏ $(O)$ và $(O')$tiếp xúc ngoài tại $A$.

b) Ta có $BD$ là đường kính của $(O)$ nên $OA = \frac{1}{2}BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Xét $\Delta ABD$ có $AO$ là trung tuyến (1) nên $\Delta ABD$ vuông tại $A$ hay $AD \bot AB,$ mà $B,\,A,\,C$ thẳng hàng nên $AD \bot BC,$ tương tự $AE \bot BC.$

Vì vậy $AD$ và $AE$ phải trùng nhau hay ba điểm $D,\,A,\,E$ thẳng hàng.

Ta có $AB = AE + EB\,\,(d = R + R')$

Chứng tỏ $(A;\,AD)$ và $(B;\,BE)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $E.$

Ta có $\Delta ADE$ cân tại $A$ $(AD = AE = R)$$\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{E_1}}$

Tương tự $\Delta EBF$ cân tại $B$$\Rightarrow \widehat F = \widehat {{E_2}}$

mà $\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat F.$

Do đó $AD{\rm{//}}BF$. Lại có $AD{\rm{//}}BC\,(gt)$

Theo tiên đề Ơ-clit: $BF$ và $BC$ phải trùng nhau hay $F,\,B,\,C$ thẳng hàng.

Ta có : $OI = OB - IB\,(d = R - {R_1})$

Chứng tỏ $(I)$ và $(O)$ tiếp xúc trong.

Tương tự ta chứng minh được $(K)$ và $(O)$ tiếp xúc trong với nhau

Lại có: $IK = IH + HK\,(d = {R_1} + {R_2})$Chứng tỏ $(I)$ và $(K)$ tiếp xúc ngoài với nhau.

a) Hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ có chung điểm $C$

$Cx$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (gt)

$\Rightarrow \,OC \bot \,Cx$ mà $O' \in OC$$\Rightarrow O'C \bot Cx$

Vậy $Cx$ là tiếp tuyến chug hy đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O';\,O'C)$ tiếp xúc nhau tại $C.$

b) $O'$ nằm trên phân giác của góc $CIA$ nên $O'$ cách $IA$ một khoảng bằng $O'C$ nên đường tròn $(O';\,O'C)$ tiếp xúc với $AB.$

a) Ta có: $OO' < R + R'\,(13 < 12 + 5)$ nên đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

b) Ta có $\widehat {ABC} = 90^\circ$ ($AC$ là đường kính)

Tương tự $\widehat {ABD} = 90^\circ$, do đó $\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ$ nên $C,\,B,\,D$ thẳng hàng.