13 bài tập Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên cùng một đường tròn có lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình vuông ABCD, với bán kính R = OA = $\frac{{AC}}{2}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$

Suy ra AC = $a\sqrt 2$ hay R = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tma giác BCD vuông tại D có DI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính R = $\frac{{BC}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác BDC vuông tại D có DI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm B, E, D, C nằm trên một đường tròn có bán kính R = $\frac{{BC}}{2}$.

Ta thấy IA > ID nên điểm A không thuộc đường tròn trên.

Đáp án đúng là: C

Ta có: OA = $\sqrt {{{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 = 2$ = R nên A nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: OA = $\sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {25} = 5 > 3 = R$ nên A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 3.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆DCN và ∆CMB, có:

CN = MB = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$ (gt)

CD = BC (gt)

$\widehat {DCN} = \widehat {CBM} = 90^\circ$ (gt)

Suy ra ∆DCN = ∆CMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat {CDN} + \widehat {CNE} = \widehat {ECN} + \widehat {CNE} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ$

Hay CM ⊥ DN.

Gọi I là tủng điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM, ta có: AI = ID = IM = $\frac{{DM}}{2}$.

Xét tam giác vuông DEM, ta có:

EI = ID = IM = $\frac{{DM}}{2}$ nên EI = ID = IM = IA = $\frac{{DM}}{2}$.

Do đó, bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $\frac{{DM}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\widehat {CAD} = \widehat {DAB}$.

Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ$.

Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:

IA = ID = IB = IC = $\frac{{DA}}{2}$.

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD. Đáp án cần chọn là D.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có:

OA = OB = OC = OD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD.

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn $\left( {O;\frac{1}{2}AC} \right)$.

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có: BD là đường cao nên BD ⊥ AC, hay tam giác BDC vuông tại D.

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

OD = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC (1).

Tương tự, ta có: OE = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC (2) và OF = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC (3).

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R = $\frac{1}{2}$BC.

Gọi O là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông ABC, có AO là trung tuyến nên AO = $\frac{1}{2}$BC.

Suy ra OA = OB = OC.

Do đó ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm O bán kính $\frac{1}{2}$BC.