TopStudy

Đáp án và lời giải

12 Bài tập Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = 2x2^{2} + x + m có:

−b2a=−12.2=−14\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 1}}{{2.2}} = \frac{{ - 1}}{4}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−(12−4.2.m)4.2=−1+8m8=−18+m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({1^2} - 4.2.m)}}{{4.2}} = \frac{{ - 1 + 8m}}{8} = \frac{{ - 1}}{8} + m

Ta có, a = 2 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −18+m- \frac{1}{8} + m tại x=−14x = - \frac{1}{4}

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi và chỉ khi −18+m=5⇔m=418- \frac{1}{8} + m = 5 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{8}

Vậy m=418m = \frac{{41}}{8} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = –x2^{2} + 5x + m có:

−b2a=−52.(−1)=52\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 5}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{5}{2}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−(52−4.(−1).m)4.(−1)=−25−4m−4=254+m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({5^2} - 4.( - 1).m)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 25 - 4m}}{{ - 4}} = \frac{{25}}{4} + m

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 254+m\frac{{25}}{4} + m tại x=52x = \frac{5}{2}.

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi và chỉ khi 254+m=12⇔m=234\frac{{25}}{4} + m = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{23}}{4}

Vậy m=234m = \frac{{23}}{4} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = x2^{2} – 3x + m có:

−b2a=−(−3)2.1=32\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 3)}}{{2.1}} = \frac{3}{2}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−3)2−4.1.m)4.1=−9+4m4=−94+m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 3)}^2} - 4.1.m)}}{{4.1}} = \frac{{ - 9 + 4m}}{4} = \frac{{ - 9}}{4} + m

Ta có, a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −94+m\frac{{ - 9}}{4} + m tại x=32x = \frac{3}{2}

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 khi và chỉ khi −94+m=12⇔m=574\frac{{ - 9}}{4} + m = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{57}}{4}

Vậy m=574m = \frac{{57}}{4} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 4

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –x2^{2} + 6x – m có:

−b2a=−62.(−1)=3\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.( - 1)}} = 3

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−(62−4.(−1).(−m))4.(−1)=−36+4m−4=9−m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({6^2} - 4.( - 1).\left( { - m} \right))}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 36 + 4m}}{{ - 4}} = 9 - m

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 9 – m tại x=32x = \frac{3}{2}

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi và chỉ khi 9 – m = 6 hay m = 3.

Vậy m = –3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 5

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –2x2^{2} + 4x – 3m có:

−b2a=−42.(−2)=1\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.( - 2)}} = 1

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−(42−4.(−2).(−3m))4.(−2)=−16+24m−8=2−3m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({4^2} - 4.( - 2).( - 3m))}}{{4.( - 2)}} = \frac{{ - 16 + 24m}}{{ - 8}} = 2 - 3m

Ta có, a = –2 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 – 3m tại x = 1

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi 2 – 3m = 10 hay m = –83\frac{8}{3}

Vậy m = –83\frac{8}{3} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 6

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = 4x2^{2} – x + 2m có:

−b2a=−(−1)2.4=18\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.4}} = \frac{1}{8}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−1)2−4.4.2m)4.4=−1+32m16=−116+2m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 1)}^2} - 4.4.2m)}}{{4.4}} = \frac{{ - 1 + 32m}}{{16}} = \frac{{ - 1}}{{16}} + 2m

Ta có, a = 4 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −116+2m\frac{{ - 1}}{{16}} + 2m tại x=18x = \frac{1}{8}.

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi −116+2m=1⇔m=1732\frac{{ - 1}}{{16}} + 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{{32}}

Vậy m=1732m = \frac{{17}}{{32}} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Mà 1732\frac{{17}}{{32}} là một số hữu tỉ dương nên đáp án A đúng.

Câu 7

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = –x2^{2} – 5x + 10m có:

−b2a=−(−5)2.(−1)=−52\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5)}}{{2.( - 1)}} = \frac{{ - 5}}{2}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−5)2−4.(−1).10m)4.(−1)=−25−40m−4=254+10m\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 5)}^2} - 4.( - 1).10m)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 25 - 40m}}{{ - 4}} = \frac{{25}}{4} + 10m

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 254+10m\frac{{25}}{4} + 10m tại x=−52x = \frac{{ - 5}}{2}

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi và chỉ khi 254+10m=5⇔m=−18\frac{{25}}{4} + 10m = 5 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{8}

Vậy m=−18m = - \frac{1}{8} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 8

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số y = x2^{2} – mx + 10 có:

−b2a=−(−m)2.1=m2\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - m)}}{{2.1}} = \frac{m}{2}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−m)2−4.1.10)4.1=−m2+404=−m24+10\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - m)}^2} - 4.1.10)}}{{4.1}} = \frac{{ - {m^2} + 40}}{4} = \frac{{ - {m^2}}}{4} + 10

Ta có, a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −m24+10\frac{{ - {m^2}}}{4} + 10 tại x=m2x = \frac{m}{2}

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi

−m24+10=2⇔−m24=−8⇔m2=32⇔m=±42\frac{{ - {m^2}}}{4} + 10 = 2 \Leftrightarrow \frac{{ - {m^2}}}{4} = - 8 \Leftrightarrow {m^2} = 32 \Leftrightarrow m = \pm 4\sqrt 2

Vậy m=±42m = \pm 4\sqrt 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số y = –x2^{2} – 2mx + 5 có:

−b2a=−(−2m)2.(−1)=−m\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2m)}}{{2.( - 1)}} = - m

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−2m)2−4.(−1).5)4.(−1)=−4m2−20−4=m2+5\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 2m)}^2} - 4.( - 1).5)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 4{m^2} - 20}}{{ - 4}} = {m^2} + 5

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là m2+5{m^2} + 5 tại x=−mx = - m

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi

m2+5=10⇔m2=5⇔m=±5{m^2} + 5 = 10 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5

Vậy m=±5m = \pm \sqrt 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 10

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = x2^{2} – mx + m có: a = 1 > 0 nên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 11

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –x2^{2} – 2mx + 3 có: a = –1 < 0 nên hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 12

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –x2^{2} – 2x + 3 có:

−b2a=−(−2)2.(−1)=−1\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2.( - 1)}} = - 1

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−2)2−4.(−1).3)4.(−1)=−16−4=4\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 2)}^2} - 4.( - 1).3)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 16}}{{ - 4}} = 4

Ta có: a = –1< 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại x = –1.

Xét hàm số y = x2^{2} – 5m + 2 có:

−b2a=−(−5m)2.1=5m2\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5m)}}{{2.1}} = \frac{{5m}}{2}

−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−((−5m)2−4.1.2)4.1=−25m2+84=−25m24+2\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 5m)}^2} - 4.1.2)}}{{4.1}} = \frac{{ - 25{m^2} + 8}}{4} = \frac{{ - 25{m^2}}}{4} + 2

Ta có: a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Để giá trị lớn nhất của hàm số y = –x2^{2} – 2x + 3 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2^{2} – 5m + 2 thì:

−25m24+2=4⇔−25m24=2⇔m2=−825\frac{{ - 25{m^2}}}{4} + 2 = 4 \Leftrightarrow \frac{{ - 25{m^2}}}{4} = 2 \Leftrightarrow {m^2} = - \frac{8}{{25}} (vô lí do m2^{2} ≥ 0 với mọi số thực m).

Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.