12 Bài tập Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = 2x$^{2}$ + x + m có:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 1}}{{2.2}} = \frac{{ - 1}}{4}$

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({1^2} - 4.2.m)}}{{4.2}} = \frac{{ - 1 + 8m}}{8} = \frac{{ - 1}}{8} + m$

Ta có, a = 2 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $- \frac{1}{8} + m$ tại $x = - \frac{1}{4}$

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi và chỉ khi $- \frac{1}{8} + m = 5 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{8}$

Vậy $m = \frac{{41}}{8}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = –x$^{2}$ + 5x + m có:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 5}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{5}{2}$

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({5^2} - 4.( - 1).m)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 25 - 4m}}{{ - 4}} = \frac{{25}}{4} + m$

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là $\frac{{25}}{4} + m$ tại $x = \frac{5}{2}$.

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi và chỉ khi $\frac{{25}}{4} + m = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{23}}{4}$

Vậy $m = \frac{{23}}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = x$^{2}$ – 3x + m có:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 3)}}{{2.1}} = \frac{3}{2}$

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 3)}^2} - 4.1.m)}}{{4.1}} = \frac{{ - 9 + 4m}}{4} = \frac{{ - 9}}{4} + m$

Ta có, a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{{ - 9}}{4} + m$ tại $x = \frac{3}{2}$

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 khi và chỉ khi $\frac{{ - 9}}{4} + m = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{57}}{4}$

Vậy $m = \frac{{57}}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –x$^{2}$ + 6x – m có:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.( - 1)}} = 3$

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({6^2} - 4.( - 1).\left( { - m} \right))}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 36 + 4m}}{{ - 4}} = 9 - m$

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 9 – m tại $x = \frac{3}{2}$

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi và chỉ khi 9 – m = 6 hay m = 3.

Vậy m = –3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –2x$^{2}$ + 4x – 3m có:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.( - 2)}} = 1$

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({4^2} - 4.( - 2).( - 3m))}}{{4.( - 2)}} = \frac{{ - 16 + 24m}}{{ - 8}} = 2 - 3m$

Ta có, a = –2 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 – 3m tại x = 1

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi 2 – 3m = 10 hay m = –$\frac{8}{3}$

Vậy m = –$\frac{8}{3}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.