12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy.

Với g = 9,8 m/s$^{2}$, góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v$_{0}$ = 8 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = - \frac{{9{,}8{x^2}}}{{{{2.8}^2}.co{s^2}({{30}^o})}} + \tan ({30^o}).x + 0{,}7 = \frac{{ - 4{,}9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7$

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình

$\frac{{ - 4{,}9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7 = 0$ ta được x$_{1}$ ≈ –1,03 và x$_{2}$ ≈ 6,68

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất khoảng 6,68 m.

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0$^{2}$ + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x$_{1}$ = –15 và x$_{2}$ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)$^{2}$ + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2 (1)

a.15$^{2}$ + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}225a - 15b = 4{,}2\\225a + 15b = 4{,}2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{{375}}\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy phương trình parabol cần tìm là: $y = \frac{7}{{375}}{x^2} + 0{,}8$

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.1{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.1{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 0{,}8841$ (m)

Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.3^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.3}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}0164$ (m)

Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.4{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.4{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}2369$ (m)

Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.6^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.6}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}5456$ (m)

Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.7{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.7{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}9425$ (m)

Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.9^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.9}^2} + 0{,}8} \right) = 2{,}4276$ (m)

Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.10{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.10{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 3{,}0009$(m)

Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.12^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.12}^2} + 0{,}8} \right) = 3{,}6624$(m)

Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.13{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.13{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 4{,}4121$(m)

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

2.0,84 + 4 . (0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 103,194 (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày

Ta có: y = (120 – x)(x – 40) = –x$^{2}$ + 160x – 4800

Xét hàm số y = –x$^{2}$ + 160x – 4800 có a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 160}}{{2.( - 1)}} = 80$

Vậy cửa hàng bán một đôi giày giá 80 đô thì thu được nhiều lãi nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Giả sử parabol có phương trình: y = ax$^{2}$+ bx + c (a ≠ 0)

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A(100; 30) và có đỉnh C(0; 5). Đoạn AB chia làm 8 phần, mỗi phần 25 m.

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}30 = 10000a + 100b + c\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\5 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{400}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5$

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng

OC + 2y$_{1}$ + 2y$_{2}$ + 2y$_{3}$

= $5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78{,}75$(m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy

Với g = 9,8 m/s$^{2}$, góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v$_{0}$ = 12 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = \frac{{ - 9{,}8.{x^2}}}{{{{2.12}^2}.co{s^2}{{30}^o}}} + \tan {30^o}.x + 0{,}7 = - \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7$(với x ≥ 0)

Khi x = 4, ta có $y = - \frac{{49}}{{1080}}{.4^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 + 0{,}7 \approx 2{,}283$> 1,524

Như vậy, cầu đã vượt qua lưới. Điểm rơi của cầu là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình:

$- \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7 = 0$ ta được: x$_{1}$ ≈ 13,84 và x$_{2}$ ≈ –1,11

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Chọn hệ trục Oth như hình

Tại t = 0 ta có: h = 1,2

Tại t = 1 ta có: h = 8,5

Tại t = 2 ta có: h = 6

Parabol có phương trình y = at$^{2}$ + bt + c (a ≠ 0)

Theo bài ta có: A(0; 1,2), B(1; 8,5), C(2; 6) thuộc parabol

Do đó, có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}c = 1{,}2\\a + b + c = 8{,}5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1{,}2\\a = - 4{,}9\\b = 12{,}2\end{array} \right.$

Vậy hàm số cần tìm có dạng y = –4,9t$^{2}$ + 12,2t + 1,2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình của parabol có dạng: y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Ta có: OB = CD : 2 – CB = (48 + 117) : 2 – 48 = 34,5 (m)

OC = CD : 2 = (48 + 117) : 2 = 82,5 (m)

Từ đó ta có điểm thuộc parabol là (34,5; 46,2)

⇒ a.34,5$^{2}$ + b.34,5 + c = 46,2

⇒ 1190,26a + 34,5b + c = 46,2 (1)

Ngoài ra, parabol còn cắt trục hoành tại hai điểm (–82,5; 0) và (82,5; 0) nên ta có:

a.(–82,5)$^{2}$ + b.(–82,5) + c = 0 $\Rightarrow$6806,25a – 82,5b + c = 0 (2)

a.82,5$^{2}$ + b.82,5 + c = 0 $\Rightarrow$ 6806,25a + 82,5b + c = 0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1190{,}26a + 34{,}5b + c = 46{,}2\\6806{,}25a - 82{,}5b + c = 0\\6806{,}25a + 82{,}5b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \approx - 0{,}008\\b = 0\\c \approx 56\end{array} \right.$

Xét đỉnh parabol có hoành độ x = 0 và tung độ y = –0,008.0$^{2}$ + 56 = 56.

Khoảng cách từ vị trí nhảy đến mặt nước là: 1 + 56 + 43 = 100 (m)

Vậy độ dài dây an toàn cần thiết là: $\frac{{100}}{3}$ ≈ 33 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi A và B là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và cổng có chiều rộng d = 5 m nên:

AB = 5 và hoành độ của A và B lần lượt là $- \frac{5}{2},\,\,\frac{5}{2}$.

Ta có: $y = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 25}}{8}$

Do đó, $A\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 25}}{8}} \right)$ và $B\left( {\frac{5}{2};\frac{{ - 25}}{8}} \right)$.

Chiều cao của cổng chính là giá trị tuyệt đối tung độ của A và B hay h = $\left| {\frac{{ - 25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3{,}125$ (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo đề bài, ta có biểu thức tọa độ của thùng hàng: $\left\{ \begin{array}{l}x = 50t\\y = 80 - \frac{1}{2}g{t^2}\end{array} \right.$.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi thùng hàng rơi đúng vị trí, ta có:

y = 0 $\Leftrightarrow 80 - \frac{1}{2}g{t^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}g{t^2} = 80 \Leftrightarrow g{t^2} = 160 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{160}}{g} \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt {160} }}{g}$

Khi đó, ta có: $x = 50.\frac{{\sqrt {160} }}{g} = \frac{{200\sqrt {10} }}{{9{,}8}}$ (m)

Vậy để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí cách vị trí được chọn $\frac{{200\sqrt {10} }}{{9{,}8}}$ m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Gọi x triệu đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự điện giảm giá (0 ≤ x ≤ 4).

Khi đó, lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là: 31 – x – 27 = 4 – x.

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là 600 + 200x.

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là:

y = (4 – x)(600 + 200x) = –200x$^{2}$ + 200x + 2400

Xét hàm số y = –200x$^{2}$ + 200x + 2400 ta có a = –200 < 0 do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 200}}{{2.( - 200)}} = 0{,}5$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá mới của chiếc xe là 31 – 0,5 = 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Trọng lượng cá trên đơn vị diện tích là:

T = (360 – 10n).n = –10n$^{2}$ + 360n (n > 0)

Xét hàm số bậc hai y = –10n$^{2}$ + 360n biến n có:

$- \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 360}}{{2.( - 10)}} = 18$

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{360}^2} - 4.( - 10).0)}}{{4.( - 10)}} = 3240$

Hàm số có a = –10 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 3240 khi n = 18.

Hay phải thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình, A ≡ O.

Parabol (P) có phương trình dạng: y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Parabol đi qua điểm A(0; 0), B(162; 0), M(10; 43) nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\{162^2}a + 162b + c = 0\\{10^2}a + 10b + c = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = \frac{{ - 43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.$

Do đó, phương trình của (P) là: $y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x$

Do đó, chiều cao của cổng là tung độ của đỉnh parabol và là:

$h = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - \frac{{{{\left( {\frac{{3483}}{{760}}} \right)}^2} - 4.\left( {\frac{{ - 43}}{{1520}}} \right).0}}{{4.\left( {\frac{{ - 43}}{{1520}}} \right)}} \approx 185{,}6$ (m).