12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy.

Với g = 9,8 m/s$^{2}$, góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v$_{0}$ = 8 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = - \frac{{9{,}8{x^2}}}{{{{2.8}^2}.co{s^2}({{30}^o})}} + \tan ({30^o}).x + 0{,}7 = \frac{{ - 4{,}9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7$

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình

$\frac{{ - 4{,}9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7 = 0$ ta được x$_{1}$ ≈ –1,03 và x$_{2}$ ≈ 6,68

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất khoảng 6,68 m.

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0$^{2}$ + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x$_{1}$ = –15 và x$_{2}$ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)$^{2}$ + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2 (1)

a.15$^{2}$ + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}225a - 15b = 4{,}2\\225a + 15b = 4{,}2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{{375}}\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy phương trình parabol cần tìm là: $y = \frac{7}{{375}}{x^2} + 0{,}8$

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.1{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.1{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 0{,}8841$ (m)

Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.3^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.3}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}0164$ (m)

Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.4{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.4{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}2369$ (m)

Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.6^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.6}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}5456$ (m)

Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.7{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.7{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 1{,}9425$ (m)

Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.9^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.9}^2} + 0{,}8} \right) = 2{,}4276$ (m)

Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.10{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.10{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 3{,}0009$(m)

Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.12^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.12}^2} + 0{,}8} \right) = 3{,}6624$(m)

Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{{375}}{.13{,}5^2} + 0{,}8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.13{,}5}^2} + 0{,}8} \right) = 4{,}4121$(m)

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

2.0,84 + 4 . (0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 103,194 (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày

Ta có: y = (120 – x)(x – 40) = –x$^{2}$ + 160x – 4800

Xét hàm số y = –x$^{2}$ + 160x – 4800 có a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 160}}{{2.( - 1)}} = 80$

Vậy cửa hàng bán một đôi giày giá 80 đô thì thu được nhiều lãi nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Giả sử parabol có phương trình: y = ax$^{2}$+ bx + c (a ≠ 0)

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A(100; 30) và có đỉnh C(0; 5). Đoạn AB chia làm 8 phần, mỗi phần 25 m.

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}30 = 10000a + 100b + c\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\5 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{400}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5$

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng

OC + 2y$_{1}$ + 2y$_{2}$ + 2y$_{3}$

= $5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78{,}75$(m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy

Với g = 9,8 m/s$^{2}$, góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v$_{0}$ = 12 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = \frac{{ - 9{,}8.{x^2}}}{{{{2.12}^2}.co{s^2}{{30}^o}}} + \tan {30^o}.x + 0{,}7 = - \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7$(với x ≥ 0)

Khi x = 4, ta có $y = - \frac{{49}}{{1080}}{.4^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 + 0{,}7 \approx 2{,}283$> 1,524

Như vậy, cầu đã vượt qua lưới. Điểm rơi của cầu là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình:

$- \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0{,}7 = 0$ ta được: x$_{1}$ ≈ 13,84 và x$_{2}$ ≈ –1,11

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m.