12 bài tập Tính nhanh tính thuận tiện với phân số có lời giải

a) Ta có: m = 1; n = 1; a = 2; z = 20. Áp dụng công thức tính nhanh ta có kết quả:

$\frac{1}{1} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{{20}}) = \frac{9}{{20}}$

b) Viết lại: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + ..... + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} = \frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + ..... + \frac{1}{{8 \times 9}} + \frac{1}{{9 \times 10}}$

Áp dụng công thức tính nhanh với: m = n = 1; a = 1; z = 10 được kết quả:

$\frac{1}{1} \times (\frac{1}{1} - \frac{1}{{10}}) = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}$

Đáp Số: a) $\frac{9}{{20}}$; b) $\frac{9}{{10}}$.

a) Trước hết ta tính: $\frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 6}} + ..... + \frac{1}{{20 \times 21}}$. Áp dụng công thức tính nhanh được:

$\frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 6}} + ..... + \frac{1}{{20 \times 21}} = \frac{1}{1} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{{21}}) = \frac{7}{{21}} - \frac{1}{{21}} = \frac{6}{{21}} = \frac{3}{7}$

Suy ra: $\frac{3}{7} = \frac{x}{{14}} \to \frac{4}{{14}} = \frac{x}{{14}} \to x = 6$.

Vậy x = 6.

b) Viết lại:

$\frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}} + \frac{1}{{132}}$

$= \frac{1}{{5 \times 6}} + \frac{1}{{6 \times 7}} + \frac{1}{{7 \times 8}} + \frac{1}{{8 \times 9}} + \frac{1}{{9 \times 10}} + \frac{1}{{10 \times 11}} + \frac{1}{{11 \times 12}}$

Áp dụng công thức tính nhanh ta tính được:

$\frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}} + \frac{1}{{132}} = \frac{1}{5} - \frac{1}{{12}} = \frac{{12}}{{60}} - \frac{5}{{60}} = \frac{7}{{60}}$

Suy ra: $\frac{7}{{60}} = \frac{{21}}{x} \to \frac{{21}}{{180}} = \frac{{21}}{x} \to x = 180$.

Vậy x = 180.

Đáp Số: a) 6 b) 180

Từ bài 1 phần b tính được: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + ..... + \frac{1}{{90}} = \frac{9}{{10}}$

Suy ra: $\frac{9}{{10}}:x = \frac{9}{{20}} \to x = \frac{9}{{10}}:\frac{9}{{20}} = \frac{9}{{10}} \times \frac{{20}}{9} = 2$

Vậy x = 2.

Đáp Số: x = 2.

Ta có:

$\frac{1}{2} \times A = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{45}})$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}}$

$= \frac{9}{{10}}$

Suy ra: $A = \frac{9}{{10}}:\frac{1}{2} = \frac{9}{{10}} \times \frac{2}{1} = \frac{9}{5}$

Đáp Số: $A = \frac{9}{5}$

Áp dụng công thức tính được:

$\frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + ..... + \frac{1}{{x \times (x + 1)}} = 1 - \frac{1}{{x + 1}}$

Suy ra:

$1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2017}}{{2018}}$

$\to 1 - \frac{1}{{x + 1}} = 1 - \frac{1}{{2018}}$

$\to x + 1 = 2018 \to x = 2017$

Đáp Số: x = 2017.

Áp dụng công thức tính nhanh với m = 2; n = 2; a = 1; z = 99 được:

$\frac{2}{{1 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 5}} + \frac{2}{{5 \times 7}} + ..... + \frac{2}{{97 \times 99}} = \frac{2}{2} \times (\frac{1}{1} - \frac{1}{{99}}) = 1 - \frac{1}{{99}} = \frac{{98}}{{99}}$

Đáp Số: $\frac{{98}}{{99}}$

Viết lại: $\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}} + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{120}} = \frac{1}{{2 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 6}} + \frac{1}{{6 \times 8}} + \frac{1}{{8 \times 10}} + \frac{1}{{10 \times 12}}$

Áp dụng công thức tính nhanh vợi m =1; n = 2; a = 2; z = 12 được

$\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}} + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{120}} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{{12}}) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{{12}} = \frac{5}{{24}}$

Đáp Số: $\frac{5}{{24}}$

Ta có: $\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} = \frac{1}{{1 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + \frac{1}{{7 \times 9}} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$

Do đó có:

$\frac{4}{9}:x = 2\frac{2}{3} \to x = \frac{4}{9}:1\frac{2}{3} \to x = \frac{4}{9}:\frac{8}{3} \to x = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \to x = \frac{1}{6}$

Đáp Số: $x = \frac{1}{6}$.

Tổng 10 phân số đầu tiên của dãy là:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{64}} + \frac{1}{{128}} + \frac{1}{{256}} + \frac{1}{{512}} + \frac{1}{{1024}}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{{1024}} = \frac{{511}}{{1024}}$

Đáp Số: $\frac{{511}}{{1024}}$

Viết lại:

$A = \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{143}} + \frac{1}{{195}} + \frac{1}{{255}} + \frac{1}{{323}} = \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + ... + \frac{1}{{17 \times 19}}$

Áp dụng công thức tính nhanh được:

$A = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{{19}}) = \frac{1}{2} \times (\frac{{19}}{{57}} - \frac{3}{{57}}) = \frac{1}{2} \times \frac{{16}}{{57}} = \frac{8}{{57}}$

Đáp Số: $A = \frac{8}{{57}}$.

Đặt $A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$

Suy ra: $3 \times A = 3 \times (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}})$

$= 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}$.

Do đó:

$3 \times A - A = (3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}) - (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}})$

$\to 2 \times A = 3 - \frac{1}{{729}} = \frac{{2187}}{{729}} - \frac{1}{{729}} = \frac{{2186}}{{729}}$

$\to A = \frac{{2186}}{{729}}:2 = \frac{{1093}}{{729}}$

Đáp Số: $A = \frac{{1093}}{{729}}$.

Áp dụng công thức tính nhanh tính được:

$\frac{1}{{11 \times 16}} + \frac{1}{{16 \times 21}} + \frac{1}{{21 \times 26}} + \ldots + \frac{1}{{x \times (x + 5)}} = \frac{1}{5} \times (\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{x + 5}})$

Do đó:

$\frac{1}{5} \times (\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{x + 5}}) = \frac{7}{{506}}$

$\to \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{x + 5}} = \frac{7}{{506}}:\frac{1}{5} = \frac{{7 \times 5}}{{506}} = \frac{{35}}{{506}}$

$\to \frac{1}{{x + 5}} = \frac{1}{{11}} - \frac{{35}}{{506}} = \frac{{46}}{{506}} - \frac{{35}}{{506}} = \frac{{11}}{{506}}$

$\to 11 \times (x + 5) = 506$

$\to x + 5 = 506:11 = 46$

$\to x = 46 - 5 = 41$

Vậy $x = 41$.

Đáp Số: $x = 41$.